A pergunta é: a função é contínua no ponto (0,0)?\n
Informações importantes extraídas do enunciado:
Para todo (x,y)\neq(0,0) a expressão de f é \dfrac{2x^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
O valor definido no ponto é f(0,0)=0.
Precisamos verificar se \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e, caso exista, se é igual a f(0,0)=0.]
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de continuidade em duas variáveis (de forma simples e intuitiva): f é contínua em (0,0) se e somente se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
O que significa \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)? Significa que, ao aproximarmos o par (x,y) de (0,0) por qualquer caminho (ou seja, por qualquer sequência de pontos que vá para (0,0)), os valores f(x,y) devem tender todos para o mesmo número. Uma estratégia prática muito usada em problemas assim é calcular o limite por caminhos diferentes: se existir pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes, isso prova que o limite total não existe. Se o limite não existe, a função não é contínua em (0,0).
Passo 3
Teste pelo eixo x (ou seja, pegar o caminho y=0 e fazer x\to0). Para y=0 e x\neq0,
Logo, aproximando (0,y) de (0,0) (com x=0), tem-se
\lim_{(0,y)\to(0,0)} f(0,y)=3.
Passo 5
Aqui já temos algo decisivo: pelo eixo x o limite é 2 e pelo eixo y o limite é 3. Como esses dois limites parciais são diferentes (2\neq3), não pode existir um único valor que seja o limite quando (x,y)\to(0,0) de forma livre (porque o limite teria de ser o mesmo para qualquer caminho). Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)\\ \text{não existe}.ã
Passo 6
Para reforçar a intuição (opcional, mas didático): se pegarmos uma reta qualquer passando pela origem, y=mx com m fixo, então para x\neq0
para m\to\infty (aproximação que corresponde ao eixo y) tende a 3,
para m=1 dá \dfrac{2+3}{1+1}=\dfrac{5}{2}=2{,}5.
Então caminhos diferentes (diferentes m) produzem limites diferentes — mais uma confirmação de que o limite total não existe.
Passo 7
Conseqüência imediata para a continuidade: como o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe, não pode ser igual ao valor definido f(0,0)=0. Logo a função não é contínua em (0,0).\n\nForça aí — o passo-chave em muitas questões desse tipo é justamente testar dois caminhos simples (eixo x e eixo y costumam resolver rápido).