QUESTÃO3 (2,5): A função f(x, y)=\left\{\begin{array}{cll}\frac{2 x^{2}+3 y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. é contínua no ponto (0,0) ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{2x^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: a função é contínua no ponto (0,0)?\n
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Para todo (x,y)\neq(0,0) a expressão de f é \dfrac{2x^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
  • O valor definido no ponto é f(0,0)=0.
  • Precisamos verificar se \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e, caso exista, se é igual a f(0,0)=0.]

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de continuidade em duas variáveis (de forma simples e intuitiva): f é contínua em (0,0) se e somente se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
O que significa \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)? Significa que, ao aproximarmos o par (x,y) de (0,0) por qualquer caminho (ou seja, por qualquer sequência de pontos que vá para (0,0)), os valores f(x,y) devem tender todos para o mesmo número. Uma estratégia prática muito usada em problemas assim é calcular o limite por caminhos diferentes: se existir pelo menos dois caminhos que dão limites diferentes, isso prova que o limite total não existe. Se o limite não existe, a função não é contínua em (0,0).

Passo 3

Teste pelo eixo x (ou seja, pegar o caminho y=0 e fazer x\to0). Para y=0 e x\neq0,
f(x,0)=\frac{2x^{2}+3\cdot 0^{2}}{x^{2}+0^{2}}=\frac{2x^{2}}{x^{2}}=2.
Portanto, ao aproximar (x,0) de (0,0) (isto é, x\to0 com y=0), os valores de f são exatamente 2 para todos esses pontos (exceto na origem), então
\lim_{(x,0)\to(0,0)} f(x,0)=2.

Passo 4

Teste pelo eixo y (ou seja, caminho x=0 e y\to0). Para x=0 e y\neq0,
f(0,y)=\frac{2\cdot 0^{2}+3y^{2}}{0^{2}+y^{2}}=\frac{3y^{2}}{y^{2}}=3.
Logo, aproximando (0,y) de (0,0) (com x=0), tem-se
\lim_{(0,y)\to(0,0)} f(0,y)=3.

Passo 5

Aqui já temos algo decisivo: pelo eixo x o limite é 2 e pelo eixo y o limite é 3. Como esses dois limites parciais são diferentes ( 2\neq3), não pode existir um único valor que seja o limite quando (x,y)\to(0,0) de forma livre (porque o limite teria de ser o mesmo para qualquer caminho). Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)\\ \text{não existe}.ã

Passo 6

Para reforçar a intuição (opcional, mas didático): se pegarmos uma reta qualquer passando pela origem, y=mx com m fixo, então para x\neq0
f(x,mx)=\frac{2x^{2}+3m^{2}x^{2}}{x^{2}+m^{2}x^{2}} =\frac{2+3m^{2}}{1+m^{2}}.
Esse valor depende de m. Por exemplo:
  • para m=0 (eixo x) dá \dfrac{2+0}{1+0}=2,
  • para m\to\infty (aproximação que corresponde ao eixo y) tende a 3,
  • para m=1 \dfrac{2+3}{1+1}=\dfrac{5}{2}=2{,}5.
    Então caminhos diferentes (diferentes m) produzem limites diferentes — mais uma confirmação de que o limite total não existe.

Passo 7

Conseqüência imediata para a continuidade: como o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe, não pode ser igual ao valor definido f(0,0)=0. Logo a função não é contínua em (0,0).\n\nForça aí — o passo-chave em muitas questões desse tipo é justamente testar dois caminhos simples (eixo x e eixo y costumam resolver rápido).

Resposta

Não, a função não é contínua em (0,0).

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