( Questâo) Considerar um trocador de calor águaágua cm contracorrente com estas especificações. A àgua quente entra a 95^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a àgua fria entra a 20^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura de saida de água quente e 15^{\circ} \mathrm{C} superior à da água fria e a vazào massica da água quente e 40 \% superior à da água fria. O produto da superficie de transferéncia de calor e do cocficiente global de transferència de calor é de 1440 \mathrm{~W} /{ }^{\circ} \mathrm{C} Considerando o calor especifico da água fria e quente como \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=4,18 \mathrm{KJ} / \mathrm{Kg}{ }^{\circ} \mathrm{C}, determinar: (a) a temperatura de saida da agua fria, (b) a efetividade do trocador de calor, (c) a vazão mássica da água fria, (d) a taxa de transferència de calor.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
Dados (retirei diretamente do enunciado):
T_{h,i}=95^\circ\mathrm{C},\quad T_{c,i}=20^\circ\mathrm{C},
a temperatura de saída da água quente satisfaz
T_{h,o}=T_{c,o}+15^\circ\mathrm{C},
a vazão mássica da água quente é 40\% maior que a da fria, isto é,
\dot m_h = 1{,}4\,\dot m_c,
o produto área × coeficiente é
UA = 1440\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C},
o calor específico vale
c_p = 4{,}18\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C} = 4180\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\,^\circ\mathrm{C}.
Perguntas a resolver:
(a) determinar T_{c,o} (temperatura de saída da água fria);
(b) determinar a efetividade \varepsilon do trocador;
(c) determinar a vazão mássica \dot m_c da água fria;
(d) determinar a taxa de transferência de calor \dot Q.

Passo 2

Montando as equações de balanço térmico e definindo capacidades térmicas:
Defina as capacidades térmicas:
C_c = \dot m_c c_p,\qquad C_h = \dot m_h c_p = 1{,}4\,\dot m_c c_p = 1{,}4\,C_c.
A taxa de calor trocada pode ser escrita por cada corrente:
\dot Q = C_c\,(T_{c,o}-T_{c,i})
e
\dot Q = C_h\,(T_{h,i}-T_{h,o}).
Usando a relação T_{h,o}=T_{c,o}+15^\circ\mathrm{C} e C_h=1{,}4\,C_c, igualamos as duas expressões para eliminar \dot Q.

Passo 3

Igualando e simplificando para achar T_{c,o}:
Começamos com
C_c\,(T_{c,o}-20) = 1{,}4\,C_c\bigl(95-(T_{c,o}+15)\bigr).
Cancelando C_c (não nulo) e desenvolvendo:
T_{c,o}-20 = 1{,}4(80 - T_{c,o}).
T_{c,o}-20 = 112 - 1{,}4\,T_{c,o}.
Passando termos de T_{c,o} para o mesmo lado:
T_{c,o} + 1{,}4\,T_{c,o} = 112 + 20,
2{,}4\,T_{c,o} = 132.
Logo
T_{c,o} = \frac{132}{2{,}4} = 55^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Verificação e cálculo da efetividade pela definição direta:
Com T_{c,o}=55^\circ\mathrm{C} temos o calor trocado (em função de C_c):
\dot Q = C_c\,(55-20)=C_c\cdot 35.
A máxima taxa de calor possível (quando a corrente de menor capacidade atinge a diferença máxima) é
\dot Q_{\max}=C_{\min}(T_{h,i}-T_{c,i})=C_c\,(95-20)=C_c\cdot 75.
A efetividade é
\varepsilon=\frac{\dot Q}{\dot Q_{\max}}=\frac{C_c\cdot 35}{C_c\cdot 75}=\frac{35}{75}=\frac{7}{15}\approx 0{,}4667.
Interpretação rápida: o trocador transfere cerca de 46{,}67\% do calor máximo teoricamente disponível.

Passo 5

Determinar a vazão mássica \dot m_c usando o método NTU:
Defina C_{\min}=C_c e a razão de capacidades
C_r=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{C_c}{C_h}=\frac{1}{1{,}4}=\frac{5}{7}\approx 0{,}7142857.
Para escoamento contracorrente a efetividade em termos de NTU é
\varepsilon=\frac{1-e^{-NTU(1-C_r)}}{1-C_r\,e^{-NTU(1-C_r)}}.
Colocando \varepsilon=\tfrac{7}{15} e C_r=\tfrac{5}{7}, resolvemos a equação para NTU.
Faça a substituição e manipulação algébrica (definindo x=NTU(1-C_r) e y=e^{-x}):
\frac{1-y}{1-C_r y}=\varepsilon \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1-\varepsilon}{1-\varepsilon C_r}.
Com os valores numéricos:
1-\varepsilon = 1-\tfrac{7}{15}=\tfrac{8}{15},\qquad 1-\varepsilon C_r=1-\tfrac{7}{15}\cdot\tfrac{5}{7}=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
Portanto
y=\frac{8/15}{2/3}=\frac{8}{15}\cdot\frac{3}{2}=\frac{4}{5}=0{,}8.
Logo
x=-\ln y=-\ln(0{,}8)=\ln\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)\approx 0{,}22314355.
Como 1-C_r = 1-\tfrac{5}{7}=\tfrac{2}{7}, temos
NTU=\frac{x}{1-C_r}=\frac{\ln(5/4)}{2/7}=\frac{7}{2}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)\approx 0{,}7810024.
Agora NTU = \dfrac{UA}{C_{\min}}, então
C_{\min}= \frac{UA}{NTU}=\frac{1440}{0{,}7810024}\approx 1844{,}289\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
Finalmente a vazão mássica da água fria:
\dot m_c=\frac{C_{\min}}{c_p}=\frac{1844{,}289}{4180}\approx 0{,}4414\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Calcular a taxa de transferência de calor \dot Q numericamente:
Usando \dot Q = C_c\,(T_{c,o}-T_{c,i}),
\dot Q = 1844{,}289\cdot 35 \approx 64\,550{,}1\\ \mathrm{W}\approx 64{,}55\\ \mathrm{kW}.
Verificação rápida com \dot Q = \dot m_c c_p (55-20):
\dot Q = 0{,}4414\cdot 4180\cdot 35 \approx 64\,550{,}1\\ \mathrm{W},
consistente.

Resposta

(a) T_{c,o}=55^\circ\mathrm{C}
(b) \varepsilon=0{,}4667\ (ou 7/15)
(c) \dot m_c=0{,}4414\\ \mathrm{kg/s}
(d) \dot Q\approx 64\,550\\ \mathrm{W} (aprox. 64{,}55\\ \mathrm{kW})

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