Água quente a uma temperatura média de
passa por um tubo horizontal enterrado de 4 m de comprimento e com um diâmetro externo de 3 cm , está enterrada no solo a uma profundidade de 2 m de altura, o solo apresenta coeficiente de condução igual a 0,75
. Na superficies externa do solo a temperatura ambiente é
e o coeficiente convectivo de transferência de calor é de
, determine:
- A taxa de perda de calor e
- A temperatura da superfície do solo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas.
Dados:
O que se pede:
- a taxa de perda de calor (potência perdida) do tubo (valor total para os
); - a temperatura da superfície do solo acima do tubo.
Passo 2
Modelo físico e raciocínio qualitativo (sem resolver ainda).
Vamos imaginar o fluxo de calor em regime permanente partindo do tubo (superfície do tubo a
) e chegando à vizinhança da superfície do solo, onde o calor é finalmente perdido por convecção ao ar ambiente a
. Podemos representar esse processo por uma rede térmica em série com duas resistências principais por unidade de comprimento:
- resistência de condução pelo solo entre a superfície do tubo e a superfície do solo;
- resistência de convecção na superfície do solo para o ar.
Por unidades, usaremos quantidades por unidade de comprimento do tubo (W por metro) e depois multiplicaremos pelo comprimento total
.
Passo 3
Expressão da resistência de condução do tubo até a superfície do solo e explicação.
Para um cilindro enterrado sob uma superfície plana podemos usar a solução obtida pelo método das imagens que fornece a resistência térmica por unidade de comprimento entre a superfície do cilindro (raio
) e a superfície do solo a profundidade
. A expressão é
Explicação dos termos:
-
é a resistência térmica de condução por unidade de comprimento (unidade: quando usada com fluxo em W/m); -
é a condutividade térmica do solo ( ); -
é a profundidade do centro do tubo (m); -
é o raio externo do tubo (m); - o factor
surge porque o método das imagens ‘reflete’ o cilindro através da superfície plana.
Calculemos numericamente
. Primeiro calcule o argumento do logaritmo:
Agora o valor do logaritmo natural:
E finalmente
Passo 4
Expressão da resistência de convecção na superfície do solo por unidade de comprimento e explicação.
A resistência convectiva por unidade de comprimento, se tomarmos uma “faixa” de superfície de largura
por unidade de comprimento do tubo (procedimento padrão quando trabalhamos por unidade de comprimento), é
Por unidade de comprimento tomamos
(área de superfície por metro de comprimento), portanto
Observação intuitiva: essa resistência é bem menor que a resistência de condução no solo — isto indica que o gargalo principal é a condução através do solo.
Passo 5
Montagem da rede térmica e fórmula para o fluxo por unidade de comprimento.
A rede térmica (por unidade de comprimento) é série:
. Assim o fluxo por unidade de comprimento
(unidade W/m) é dado por
Substituindo números:
Portanto
Passo 6
Taxa de perda de calor total para todo o tubo (comprimento
).
Multiplicamos o fluxo por unidade de comprimento pelo comprimento:
Arredondando razoavelmente:
Passo 7
Cálculo da temperatura da superfície do solo.
A diferença entre a temperatura da superfície do solo
e o ambiente é dada pela queda de temperatura na resistência convectiva:
Logo
Verificação alternativa (consistência): também vale
mesmo resultado dentro do arredondamento.