Água quente a uma temperatura média de 85^{\circ} \mathrm{C} passa por um tubo horizontal enterrado de 4 m de comprimento e com um diâmetro externo de 3 cm , está enterrada no solo a uma profundidade de 2 m de altura, o solo apresenta coeficiente de condução igual a 0,75 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Na superficies externa do solo a temperatura ambiente é 30^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente convectivo de transferência de calor é de 12 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} .^{\circ} \mathrm{C}\right), determine:
  • A taxa de perda de calor e
  • A temperatura da superfície do solo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas.
Dados:
L=4\\ \mathrm{m}
\text{diâmetro externo do tubo } D=3\\ \mathrm{cm}=0,03\\ \mathrm{m}â
\text{raio externo do tubo } r_0=\frac{D}{2}=0,015\\ \mathrm{m}
\text{profundidade (distância da superfície até o centro do tubo) } H=2\\ \mathrm{m}âíé
k_{\text{solo}}=0,75\\ \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)}
T_{\text{água}}=85\,^\circ\mathrm{C}á
T_{\infty}=30\,^\circ\mathrm{C}\quad(\text{temperatura ambiente na superfície do solo})í
h=12\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}
O que se pede:
  • a taxa de perda de calor (potência perdida) do tubo (valor total para os 4\\ \mathrm{m});
  • a temperatura da superfície do solo acima do tubo.

Passo 2

Modelo físico e raciocínio qualitativo (sem resolver ainda).
Vamos imaginar o fluxo de calor em regime permanente partindo do tubo (superfície do tubo a T_{\text{água}}á) e chegando à vizinhança da superfície do solo, onde o calor é finalmente perdido por convecção ao ar ambiente a T_{\infty}. Podemos representar esse processo por uma rede térmica em série com duas resistências principais por unidade de comprimento:
  1. resistência de condução pelo solo entre a superfície do tubo e a superfície do solo;
  2. resistência de convecção na superfície do solo para o ar.
Por unidades, usaremos quantidades por unidade de comprimento do tubo (W por metro) e depois multiplicaremos pelo comprimento total L.

Passo 3

Expressão da resistência de condução do tubo até a superfície do solo e explicação.
Para um cilindro enterrado sob uma superfície plana podemos usar a solução obtida pelo método das imagens que fornece a resistência térmica por unidade de comprimento entre a superfície do cilindro (raio r_0) e a superfície do solo a profundidade H. A expressão é
R'_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k}\,\ln\!\left(\frac{2H}{r_0}\right).
Explicação dos termos:
  • R'_{\text{cond}} é a resistência térmica de condução por unidade de comprimento (unidade: \mathrm{K\cdot m/W} quando usada com fluxo em W/m);
  • k é a condutividade térmica do solo ( \mathrm{W/(m\cdot{}^\circ C)});
  • H é a profundidade do centro do tubo (m);
  • r_0 é o raio externo do tubo (m);
  • o factor 2H surge porque o método das imagens ‘reflete’ o cilindro através da superfície plana.
Calculemos numericamente R'_{\text{cond}}. Primeiro calcule o argumento do logaritmo:
\frac{2H}{r_0}=\frac{2\cdot 2}{0,015}= \frac{4}{0,015}=266{,}666\ldots
Agora o valor do logaritmo natural:
\ln\!\left(266{,}666\ldots\right)\approx 5{,}5859.
E finalmente
R'_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi\cdot 0{,}75}\cdot 5{,}5859 =\frac{5{,}5859}{1{,}5\pi} \approx 1{,}185\quad(\mathrm{K\cdot m/W}).

Passo 4

Expressão da resistência de convecção na superfície do solo por unidade de comprimento e explicação.
A resistência convectiva por unidade de comprimento, se tomarmos uma “faixa” de superfície de largura 1\\ \mathrm{m} por unidade de comprimento do tubo (procedimento padrão quando trabalhamos por unidade de comprimento), é
R'_{\text{conv}}=\frac{1}{h\cdot A' }.
Por unidade de comprimento tomamos A'=1\\ \mathrm{m^2} (área de superfície por metro de comprimento), portanto
R'_{\text{conv}}=\frac{1}{h}=\frac{1}{12}\approx 0{,}08333\quad(\mathrm{K\cdot m/W}).
Observação intuitiva: essa resistência é bem menor que a resistência de condução no solo — isto indica que o gargalo principal é a condução através do solo.

Passo 5

Montagem da rede térmica e fórmula para o fluxo por unidade de comprimento.
A rede térmica (por unidade de comprimento) é série: T_{\text{tubo}} \to R'_{\text{cond}} \to T_{\text{superf}} \to R'_{\text{conv}} \to T_{\infty}. Assim o fluxo por unidade de comprimento q' (unidade W/m) é dado por
q'=\frac{T_{\text{água}}-T_{\infty}}{R'_{\text{cond}}+R'_{\text{conv}}}.á
Substituindo números:
T_{\text{água}}-T_{\infty}=85-30=55\\ ^\circ\mathrm{C}.á
R'_{\text{total}}=R'_{\text{cond}}+R'_{\text{conv}}=1{,}185+0{,}08333=1{,}26833\\ \mathrm{K\cdot m/W}.
Portanto
q'=\frac{55}{1{,}26833}\approx 43{,}36\\ \mathrm{W/m}.

Passo 6

Taxa de perda de calor total para todo o tubo (comprimento L).
Multiplicamos o fluxo por unidade de comprimento pelo comprimento:
Q=q'\cdot L=43{,}36\cdot 4\approx 173{,}45\\ \mathrm{W}.
Arredondando razoavelmente: Q\approx 173{,}4\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Cálculo da temperatura da superfície do solo.
A diferença entre a temperatura da superfície do solo T_{\text{superf}} e o ambiente é dada pela queda de temperatura na resistência convectiva:
T_{\text{superf}}-T_{\infty}=q'\cdot R'_{\text{conv}}.
Logo
T_{\text{superf}}=T_{\infty}+q'\cdot R'_{\text{conv}}=30+43{,}36\cdot 0{,}08333\approx 30+3{,}613\approx 33{,}61\\ ^\circ\mathrm{C}.
Verificação alternativa (consistência): também vale
T_{\text{superf}}=T_{\text{água}}-q'\cdot R'_{\text{cond}}=85-43{,}36\cdot 1{,}185\approx 85-51{,}39\approx 33{,}61\\ ^\circ\mathrm{C},á
mesmo resultado dentro do arredondamento.

Resposta

Q\approx 173{,}4\\ \mathrm{W}
T_{\text{superf}}\approx 33{,}6\\ ^\circ\mathrm{C}

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