Uma experiência deve ser conduzida para determinar o coeficiente convectivo de transferência de calor na superfície esférica de uma fruta com formato esférico, onde diâmetro é igual a 10 cm . A fruta é colocada em água fria a 7^{\circ} \mathrm{C}. As propriedades termo físicas da fruta são: k=0,59 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C}), \alpha=k /(\rho . C p)=0,141 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \rho=999 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{Cp}=41,8859 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}). Inicialmente a fruta está a temperatura ambiente 25^{\circ} \mathrm{C}. Após um período de 3 horas, as temperaturas no centro e na superfície da fruta são 10^{\circ} \mathrm{C} e 7,1^{\circ} \mathrm{C}. respectivamente. Com os dados fornecidos, determine:
  • O número de Biot " Bi "
  • O coeficiente convectivo de transferência de calor e.

Passo 1

O enunciado pede que, usando os dados experimentais, a gente determine:
  • o número de Biot \mathrm{Bi};
  • o coeficiente convectivo de transferência de calor h.
Dados fornecidos (vou organizar tudo para ficar claro):
\begin{aligned} &\text{diâmetro da fruta } = 10\\ \text{cm} \Rightarrow R=0,05\\ \text{m},\\\ &\text{temperatura do meio (água) } T_\infty = 7^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura inicial da fruta } T_i = 25^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{após } t=3\\ \text{h} = 10800\\ \text{s}: \\\ &\qquad T_\mathrm{centro}=10^\circ\mathrm{C},\qquad T_\mathrm{superf}=7{,}1^\circ\mathrm{C},\\\ &k = 0{,}59\\ \mathrm{W/(m\cdot^\circ C)},\\\ &\alpha = 0{,}141\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s},\\\ &\rho = 999\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad C_p = 41{,}8859\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.
Observações úteis que já dá para extrair:
\theta_i = T_i - T_\infty = 25 - 7 = 18^\circ\mathrm{C},
\theta_c = T_\mathrm{centro} - T_\infty = 10 - 7 = 3^\circ\mathrm{C},
\theta_s = T_\mathrm{superf} - T_\infty = 7{,}1 - 7 = 0{,}1^\circ\mathrm{C}.
Vou usar essas quantidades na resolução. A partir daqui eu explico o método e começo a resolver.

Passo 2

Escolha do método (e por que): para um corpo esférico com troca convectiva na superfície, a solução geral da condução transiente é uma série de modos próprios. Na prática, para tempos moderados a grandes (quando os modos de ordem maior já decaíram), o primeiro termo da série domina. Esse primeiro termo dá relações simples entre a temperatura no centro e na superfície que dependem apenas do primeiro autovalor \zeta_1. Como os dados mostram que a superfície já está muito próxima da temperatura do meio ( \theta_s muito pequeno) enquanto o centro ainda está mais quente ( \theta_c relativamente maior), é plausível que o primeiro modo seja dominante — então a aproximação de primeiro termo é adequada e simplifica bastante a determinação de \mathrm{Bi} e, depois, de h.
Resumo do procedimento:
  1. usar a relação entre \theta_c e \theta_s na aproximação de primeiro termo para encontrar o primeiro autovalor \zeta_1;
  2. usar a equação característica que liga \zeta_1 ao número de Biot \mathrm{Bi} (condição de contorno convectiva);
  3. calcular h por \mathrm{Bi}=h L_c/k, com L_c=V/A (comprimento característico da esfera).

Passo 3

Resultados padrão da solução de primeiro termo para esfera (apresento as fórmulas e explico o que significam):
  • Normalização das temperaturas: \theta=(T-T_\infty). As soluções em série produzem para o centro ( r=0) e para a superfície ( r=R):
\theta_c(t) \approx C_1 e^{-\zeta_1^2 \mathrm{Fo}}, \qquad \theta_s(t) \approx C_1\frac{\sin\zeta_1}{\zeta_1} e^{-\zeta_1^2 \mathrm{Fo}},
onde
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{R^2}
é o número de Fourier adimensional e C_1 e \zeta_1 são constantes relacionadas ao primeiro modo próprio.
  • Observação importante: dividindo as duas expressões (e cancelando C_1 e o fator exponencial), obtém-se uma relação independente do tempo e de C_1:
\frac{\theta_c}{\theta_s} \approx \frac{\zeta_1}{\sin\zeta_1}.
Isto é muito conveniente: medindo as temperaturas centro e superfície podemos obter \zeta_1 pela equação acima.
  • A equação de condição de contorno que relaciona \zeta_1 e \mathrm{Bi} (para esfera com contorno convectivo) é a conhecida equação transcendental:
\mathrm{Bi} = -\zeta_1\cot\zeta_1.
Explico rapidamente a origem sem derivar tudo: ela vem da aplicação da condição de fluxo convectivo na superfície à forma radial dos autovetores; o resultado padrão para esfera é exatamente essa relação entre \mathrm{Bi} e o autovalor \zeta_1.
  • Finalmente, para uma esfera o comprimento característico é
L_c = \frac{V}{A} = \frac{R}{3}.
E portanto
h = \frac{\mathrm{Bi}\,k}{L_c} = \frac{3\,\mathrm{Bi}\,k}{R}.

Passo 4

Usar os dados medidos para encontrar \zeta_1.
Temos \theta_c = 3^\circ\mathrm{C} e \theta_s = 0{,}1^\circ\mathrm{C}, então
\frac{\theta_c}{\theta_s} = \frac{3}{0{,}1} = 30.
Assim a equação para \zeta_1 é
\frac{\zeta_1}{\sin\zeta_1} = 30.
Agora resolvemos numericamente esta equação para \zeta_1. É útil escrever \zeta_1=\pi - x com x pequeno, porque sabemos que \zeta_1 fica próximo de \pi quando a razão é grande. Fazendo a resolução numérica (ou tentativa e ajuste), obtemos
\zeta_1 \approx 3{,}04009.
Breve comentário: fiz uma aproximação sucessiva (valor inicial \pi - \pi/31 e ajuste com expansão de série para \sin) e cheguei ao valor acima com precisão suficiente para nossos cálculos.

Passo 5

Calcular o número de Biot \mathrm{Bi} a partir de \zeta_1 usando a equação transcendental:
\mathrm{Bi} = -\zeta_1\cot\zeta_1.
É mais prático usar a relação com x=\pi-\zeta_1 (onde x é pequeno): \cot\zeta_1 = -\cot x. Com \zeta_1\approx 3{,}04009 (logo x\approx 0{,}10150) calcula-se \cot x e:
\mathrm{Bi} \approx 29{,}87.
(ou seja, aproximadamente 2{,}99\times 10^{1}). Isso confirma que \mathrm{Bi} é grande — faz sentido físico: a resistência térmica por convecção é muito pequena em comparação com a resistência por condução interna, então a superfície fica quase à temperatura do fluido enquanto o interior ainda retém calor.

Passo 6

Calcular o coeficiente convectivo h.
Usamos L_c=R/3. Substituindo os valores:
L_c = \frac{0{,}05}{3} = 0{,}0166667\\ \mathrm{m}.
Então
h = \frac{\mathrm{Bi}\,k}{L_c} \approx \frac{29{,}87 \times 0{,}59}{0{,}0166667}.
Faço as contas:
29{,}87\times 0{,}59 = 17{,}6207\quad\text{e}\quad h \approx \frac{17{,}6207}{0{,}0166667}\approx 1{,}057\times 10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.

Passo 7

Comentários finais e verificação rápida:
  • Obtivemos \mathrm{Bi}\approx 29{,}9 e h\approx 1{,}06\times 10^{3}\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}.
  • Esses valores são coerentes com a situação qualitativa: superfície praticamente igual ao fluido (diferença só 0{,}1^\circ\mathrm{C}), centro ainda several degrees acima; Bi grande indica gradiente interno significativo e superfície rapidamente levado ao ambiente. O valor de h é alto (imersão em água pode produzir valores elevados de h), então o resultado faz sentido físico.

Resposta

\mathrm{Bi} \approx 29{,}9\n
h \approx 1{,}06\times 10^{3}\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot ^\circ C)}

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