Uma experiência deve ser conduzida para determinar o coeficiente convectivo de transferência de calor na superfície esférica de uma fruta com formato esférico, onde diâmetro é igual a 10 cm . A fruta é colocada em água fria a
. As propriedades termo físicas da fruta são:
. Inicialmente a fruta está a temperatura ambiente
. Após um período de 3 horas, as temperaturas no centro e na superfície da fruta são
e
. respectivamente. Com os dados fornecidos, determine:
- O número de Biot " Bi "
- O coeficiente convectivo de transferência de calor e.
Passo 1
O enunciado pede que, usando os dados experimentais, a gente determine:
- o número de Biot
; - o coeficiente convectivo de transferência de calor
.
Dados fornecidos (vou organizar tudo para ficar claro):
Observações úteis que já dá para extrair:
Vou usar essas quantidades na resolução. A partir daqui eu explico o método e começo a resolver.
Passo 2
Escolha do método (e por que): para um corpo esférico com troca convectiva na superfície, a solução geral da condução transiente é uma série de modos próprios. Na prática, para tempos moderados a grandes (quando os modos de ordem maior já decaíram), o primeiro termo da série domina. Esse primeiro termo dá relações simples entre a temperatura no centro e na superfície que dependem apenas do primeiro autovalor
. Como os dados mostram que a superfície já está muito próxima da temperatura do meio (
muito pequeno) enquanto o centro ainda está mais quente (
relativamente maior), é plausível que o primeiro modo seja dominante — então a aproximação de primeiro termo é adequada e simplifica bastante a determinação de
e, depois, de
.
Resumo do procedimento:
- usar a relação entre
e na aproximação de primeiro termo para encontrar o primeiro autovalor ; - usar a equação característica que liga
ao número de Biot (condição de contorno convectiva); - calcular
por , com (comprimento característico da esfera).
Passo 3
Resultados padrão da solução de primeiro termo para esfera (apresento as fórmulas e explico o que significam):
- Normalização das temperaturas:
. As soluções em série produzem para o centro ( ) e para a superfície ( ):
onde
é o número de Fourier adimensional e
e
são constantes relacionadas ao primeiro modo próprio.
- Observação importante: dividindo as duas expressões (e cancelando
e o fator exponencial), obtém-se uma relação independente do tempo e de :
Isto é muito conveniente: medindo as temperaturas centro e superfície podemos obter
pela equação acima.
- A equação de condição de contorno que relaciona
e (para esfera com contorno convectivo) é a conhecida equação transcendental:
Explico rapidamente a origem sem derivar tudo: ela vem da aplicação da condição de fluxo convectivo na superfície à forma radial dos autovetores; o resultado padrão para esfera é exatamente essa relação entre
e o autovalor
.
- Finalmente, para uma esfera o comprimento característico é
E portanto
Passo 4
Usar os dados medidos para encontrar
.
Temos
e
, então
Assim a equação para
é
Agora resolvemos numericamente esta equação para
. É útil escrever
com
pequeno, porque sabemos que
fica próximo de
quando a razão é grande. Fazendo a resolução numérica (ou tentativa e ajuste), obtemos
Breve comentário: fiz uma aproximação sucessiva (valor inicial
e ajuste com expansão de série para
) e cheguei ao valor acima com precisão suficiente para nossos cálculos.
Passo 5
Calcular o número de Biot
a partir de
usando a equação transcendental:
É mais prático usar a relação com
(onde
é pequeno):
. Com
(logo
) calcula-se
e:
(ou seja, aproximadamente
). Isso confirma que
é grande — faz sentido físico: a resistência térmica por convecção é muito pequena em comparação com a resistência por condução interna, então a superfície fica quase à temperatura do fluido enquanto o interior ainda retém calor.
Passo 6
Calcular o coeficiente convectivo
.
Usamos
. Substituindo os valores:
Então
Faço as contas:
Passo 7
Comentários finais e verificação rápida:
- Obtivemos
e . - Esses valores são coerentes com a situação qualitativa: superfície praticamente igual ao fluido (diferença só
), centro ainda several degrees acima; Bi grande indica gradiente interno significativo e superfície rapidamente levado ao ambiente. O valor de é alto (imersão em água pode produzir valores elevados de ), então o resultado faz sentido físico.