Questão 1: A posição no tempo t de uma partícula inicialmente em ( X_{1}, X_{2}, X_{3} ) é dada por:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}=X_{1}+b X_{2}^{2} t^{2} \\\ x_{2}=X_{2}+k X_{2} t \\\ x_{3}=X_{3} \end{array}\right.
onde b=1 e k=1.
(a) Para a partícula que estava inicialmente em ( 1,1,0 ), quais são suas posições nos instantes de tempo t=0, t=1 e t=2 ?
(b) Encontre a posição inicial de uma partícula que se encontra em ( 1,3,2 ) no instante t=2.
(c) Determine a aceleração no instante t=2 da partícula que estava inicialmente em (1,3,2).
(d) Determine a aceleração de uma partícula que se encontra em ( 1,3,2 ) no instante t=2.

Passo 1

O enunciado dá a posição no tempo t\) de uma partícula que estava inicialmente em \((X_{1},X_{2},X_{3})\) por: \[\begin{cases} x_{1}=X_{1}+b X_{2}^{2} t^{2} \\\ x_{2}=X_{2}+k X_{2} t \\\ x_{3}=X_{3} \end{cases}
com b=1\] e \(k=1.
As perguntas são:
(a) Para a partícula que estava inicialmente em (1,1,0), quais são suas posições nos instantes t=0, t=1 e t=2?
(b) Encontre a posição inicial (X_{1},X_{2},X_{3}) de uma partícula que se encontra em (1,3,2) no instante t=2.
(c) Determine a aceleração no instante t=2 da partícula que estava inicialmente em (1,3,2).
(d) Determine a aceleração de uma partícula que se encontra em (1,3,2) no instante t=2.
Informações relevantes dadas: a lei de movimento (acima) com b=1, k=1; para (a) um rótulo inicial fixo (1,1,0); para (b) a posição atual (1,3,2) no tempo t=2; para (c) e (d) precisamos calcular aceleração a partir da lei de movimento.

Passo 2

Substituindo b=1\) e \(k=1\) escrevo a lei de movimento de forma explícita (essa é a que vou usar em todos os passos): \[\begin{cases} x_{1}=X_{1}+X_{2}^{2} t^{2},\\[4pt] x_{2}=X_{2}+X_{2} t = X_{2}(1+t),\\[4pt] x_{3}=X_{3}. \end{cases}
Aqui a interpretação é Lagrangiana: cada partícula é identificada pelo seu rótulo inicial (X_{1},X_{2},X_{3})\]; a trajetória dessa partícula é \(\,t\mapsto x(X,t).]

Passo 3

Como a partícula com rótulo X tem posição x(X,t), a velocidade da partícula é a derivada temporal mantendo X fixo:
v(X,t)=\frac{\partial x}{\partial t}(X,t).
Vou derivar cada componente:
\begin{aligned} v_{1}(X,t)&=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(X_{1}+X_{2}^{2}t^{2}\bigr)=2X_{2}^{2}t,\\[4pt] v_{2}(X,t)&=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(X_{2}(1+t)\bigr)=X_{2},\\[4pt] v_{3}(X,t)&=\frac{\partial}{\partial t}(X_{3})=0. \end{aligned}
A aceleração da partícula é a segunda derivada temporal (novamente com X fixo):
a(X,t)=\frac{\partial^{2} x}{\partial t^{2}}(X,t).
Derivando v em relação a t:
\begin{aligned} a_{1}(X,t)&=\frac{\partial}{\partial t}(2X_{2}^{2}t)=2X_{2}^{2},\\[4pt] a_{2}(X,t)&=\frac{\partial}{\partial t}(X_{2})=0,\\[4pt] a_{3}(X,t)&=0. \end{aligned}
Observação útil: nestes fórmulas a aceleração não depende de t; depende apenas do rótulo X_{2}.]

Passo 4

Respondo a parte (a). Para a partícula com rótulo inicial X=(1,1,0) eu substituo X_{1}=1, X_{2}=1, X_{3}=0 na lei de movimento.
  • Em t=0:
\begin{aligned} x_{1}&=1+1^{2}\cdot 0^{2}=1,\\[4pt] x_{2}&=1(1+0)=1,\\[4pt] x_{3}&=0. \end{aligned}
Logo \,(x_{1},x_{2},x_{3})=(1,1,0).
  • Em t=1:
\begin{aligned} x_{1}&=1+1^{2}\cdot 1^{2}=1+1=2,\\[4pt] x_{2}&=1(1+1)=2,\\[4pt] x_{3}&=0. \end{aligned}
Logo \,(x_{1},x_{2},x_{3})=(2,2,0).
  • Em t=2:
\begin{aligned} x_{1}&=1+1^{2}\cdot 2^{2}=1+4=5,\\[4pt] x_{2}&=1(1+2)=3,\\[4pt] x_{3}&=0. \end{aligned}
Logo \,(x_{1},x_{2},x_{3})=(5,3,0).]

Passo 5

Respondo a parte (b). Quero encontrar o rótulo [X=(X_{1},X_{2},X_{3})) tal que em t=2 a posição seja x=(1,3,2).
Uso as equações com t=2:
\begin{cases} 1 = X_{1}+X_{2}^{2}\cdot 2^{2}=X_{1}+4X_{2}^{2},\\[4pt] 3 = X_{2}(1+2)=3X_{2},\\[4pt] 2 = X_{3}. \end{cases}
Da segunda equação 3=3X_{2}\] obtemos \(X_{2}=1. Da terceira, X_{3}=2. Substituindo X_{2}=1 na primeira:
1 = X_{1}+4\cdot 1^{2}=X_{1}+4 \quad\Rightarrow\quad X_{1}=1-4=-3.
Portanto o rótulo inicial é X=(-3,1,2).]

Passo 6

Respondo a parte (c). Aqui a partícula é a que estava inicialmente em X=(1,3,2). Para achar a aceleração no instante t=2 uso a fórmula da aceleração obtida no Passo 3:
a_{1}(X,t)=2X_{2}^{2},\quad a_{2}(X,t)=0,\quad a_{3}(X,t)=0.
Substituindo X_{2}=3:
a_{1}=2\cdot 3^{2}=2\cdot 9=18,\quad a_{2}=0,\quad a_{3}=0.
Logo a aceleração é (18,0,0) em t=2. Observação: como a não depende de t neste problema, esse valor vale para qualquer instante; mas pediram em t=2, então é (18,0,0).

Passo 7

Respondo a parte (d). Aqui a partícula é a que se encontra em (1,3,2) no instante t=2. No Passo 5 encontrei o rótulo inicial dessa partícula: X=(-3,1,2). Uso novamente a fórmula da aceleração com X_{2}=1:
a_{1}=2\cdot 1^{2}=2,\quad a_{2}=0,\quad a_{3}=0.
Portanto a aceleração da partícula que está em (1,3,2) no instante t=2 é (2,0,0).

Resposta

(a) t=0:\\ (1,1,0)
t=1:\\ (2,2,0)
t=2:\\ (5,3,0)
(b) X=(-3,1,2)
(c) (18,0,0)
(d) (2,0,0)

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