onde b=1 e k=1.
(a) Para a partícula que estava inicialmente em ( 1,1,0 ), quais são suas posições nos instantes de tempo t=0, t=1 e t=2 ?
(b) Encontre a posição inicial de uma partícula que se encontra em ( 1,3,2 ) no instante t=2.
(c) Determine a aceleração no instante t=2 da partícula que estava inicialmente em (1,3,2).
(d) Determine a aceleração de uma partícula que se encontra em ( 1,3,2 ) no instante t=2.
Passo 1
O enunciado dá a posição no tempo t\) de uma partícula que estava inicialmente em \((X_{1},X_{2},X_{3})\) por:
\[\begin{cases} x_{1}=X_{1}+b X_{2}^{2} t^{2} \\\ x_{2}=X_{2}+k X_{2} t \\\ x_{3}=X_{3} \end{cases}
com b=1\] e \(k=1.
As perguntas são:
(a) Para a partícula que estava inicialmente em (1,1,0), quais são suas posições nos instantes t=0, t=1 e t=2?
(b) Encontre a posição inicial (X_{1},X_{2},X_{3}) de uma partícula que se encontra em (1,3,2) no instante t=2.
(c) Determine a aceleração no instante t=2 da partícula que estava inicialmente em (1,3,2).
(d) Determine a aceleração de uma partícula que se encontra em (1,3,2) no instante t=2.
Informações relevantes dadas: a lei de movimento (acima) com b=1, k=1; para (a) um rótulo inicial fixo (1,1,0); para (b) a posição atual (1,3,2) no tempo t=2; para (c) e (d) precisamos calcular aceleração a partir da lei de movimento.
Passo 2
Substituindo b=1\) e \(k=1\) escrevo a lei de movimento de forma explícita (essa é a que vou usar em todos os passos):
\[\begin{cases} x_{1}=X_{1}+X_{2}^{2} t^{2},\\[4pt] x_{2}=X_{2}+X_{2} t = X_{2}(1+t),\\[4pt] x_{3}=X_{3}. \end{cases}
Aqui a interpretação é Lagrangiana: cada partícula é identificada pelo seu rótulo inicial (X_{1},X_{2},X_{3})\]; a trajetória dessa partícula é \(\,t\mapsto x(X,t).]
Passo 3
Como a partícula com rótulo X tem posição x(X,t), a velocidade da partícula é a derivada temporal mantendo X fixo:
Respondo a parte (c). Aqui a partícula é a que estava inicialmente em X=(1,3,2). Para achar a aceleração no instante t=2 uso a fórmula da aceleração obtida no Passo 3:
Logo a aceleração é (18,0,0) em t=2. Observação: como a não depende de t neste problema, esse valor vale para qualquer instante; mas pediram em t=2, então é (18,0,0).
Passo 7
Respondo a parte (d). Aqui a partícula é a que se encontra em (1,3,2) no instante t=2. No Passo 5 encontrei o rótulo inicial dessa partícula: X=(-3,1,2). Uso novamente a fórmula da aceleração com X_{2}=1:
a_{1}=2\cdot 1^{2}=2,\quad a_{2}=0,\quad a_{3}=0.
Portanto a aceleração da partícula que está em (1,3,2) no instante t=2 é (2,0,0).