Questão 7: Considere o campo de deslocamentos de um corpo u_{1}=2 X_{2}-X_{3}, u_{2}=-X_{1}+X_{3} e u_{3}=X_{1}-X_{2}.
(a) Determine o gradiente do deslocamento \nabla \boldsymbol{u}.
(b) Calcule o tensor de deformação infinitesimal \boldsymbol{E} e o tensor de rotação infinitesimal \boldsymbol{\Omega}.
(c) Encontre o vetor de rotação infinitesimal \boldsymbol{\omega} associado a \boldsymbol{\Omega}, tal que \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v} para qualquer vetor \boldsymbol{v}.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de deslocamentos em coordenadas (X_{1},X_{2},X_{3}):
u_{1}=2X_{2}-X_{3},\qquad u_{2}=-X_{1}+X_{3},\qquad u_{3}=X_{1}-X_{2}.
O que é pedido:
(a) calcular o gradiente do deslocamento \nabla \boldsymbol{u} (matriz cujas entradas são \partial u_{i}/\partial X_{j});
(b) calcular o tensor de deformação infinitesimal \boldsymbol{E} e o tensor de rotação infinitesimal \boldsymbol{\Omega}, sabendo que estes são, respectivamente, a parte simétrica e a parte antissimétrica de \nabla\boldsymbol{u};
(c) encontrar o vetor de rotação infinitesimal \boldsymbol{\omega} associado a \boldsymbol{\Omega}, tal que \boldsymbol{\Omega}\,\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v} para todo \boldsymbol{v}.

Passo 2

Definição e cálculo do gradiente: por definição a matriz gradiente tem entradas
(\nabla\boldsymbol{u})_{ij}=\frac{\partial u_{i}}{\partial X_{j}}.
Vamos calcular todas as derivadas parciais diretamente a partir das expressões dadas:
\begin{aligned} \frac{\partial u_{1}}{\partial X_{1}}&=0,&\quad \frac{\partial u_{1}}{\partial X_{2}}&=2,&\quad \frac{\partial u_{1}}{\partial X_{3}}&=-1,\\[4pt] \frac{\partial u_{2}}{\partial X_{1}}&=-1,&\quad \frac{\partial u_{2}}{\partial X_{2}}&=0,&\quad \frac{\partial u_{2}}{\partial X_{3}}&=1,\\[4pt] \frac{\partial u_{3}}{\partial X_{1}}&=1,&\quad \frac{\partial u_{3}}{\partial X_{2}}&=-1,&\quad \frac{\partial u_{3}}{\partial X_{3}}&=0. \end{aligned}
Portanto o gradiente é
\nabla\boldsymbol{u}= \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição do tensor de deformação infinitesimal \boldsymbol{E}: é a parte simétrica de \nabla\boldsymbol{u},
\boldsymbol{E}=\frac{1}{2}\big(\nabla\boldsymbol{u}+(\nabla\boldsymbol{u})^{T}\big).
Primeiro somamos \nabla\boldsymbol{u} com sua transposta:
\nabla\boldsymbol{u}+(\nabla\boldsymbol{u})^{T}= \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Agora dividimos por 2:
\boldsymbol{E}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Comentário didático rápido: \boldsymbol{E} mede alterações simétricas (estiramentos e deformações puras) enquanto elimina os efeitos de rotação rígida.]

Passo 4

Definição do tensor de rotação infinitesimal \boldsymbol{\Omega}: é a parte antissimétrica de \nabla\boldsymbol{u},
\boldsymbol{\Omega}=\frac{1}{2}\big(\nabla\boldsymbol{u}-(\nabla\boldsymbol{u})^{T}\big).
Calculamos a diferença:
\nabla\boldsymbol{u}-(\nabla\boldsymbol{u})^{T}= \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2\\[4pt] -3 & 0 & 2\\[4pt] 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
Dividindo por 2 obtemos
\boldsymbol{\Omega}= \begin{pmatrix} 0 & \tfrac{3}{2} & -1\\[4pt] -\tfrac{3}{2} & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Observação: \boldsymbol{\Omega} é antissimétrica ( \boldsymbol{\Omega}^{T}=-\boldsymbol{\Omega}), como deve ser para um tensor de rotação infinitesimal.]

Passo 5

Mapeamento antissimétrico \longleftrightarrow vetor de rotação: para todo vetor \boldsymbol{\omega}=(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}) a matriz antissimétrica que realiza o produto vetorial é
[\boldsymbol{\omega}]_{\times}= \begin{pmatrix} 0 & -\omega_{3} & \omega_{2}\\[4pt] \omega_{3} & 0 & -\omega_{1}\\[4pt] -\omega_{2} & \omega_{1} & 0 \end{pmatrix},
ou seja, para qualquer \boldsymbol{v} vale [\boldsymbol{\omega}]_{\times}\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}.
Para identificar \boldsymbol{\omega} a partir de \boldsymbol{\Omega} igualamos os componentes correspondentes; lendo a matriz acima obtemos imediatamente as relações
\omega_{1}=\Omega_{32},\qquad \omega_{2}=\Omega_{13},\qquad \omega_{3}=\Omega_{21}.
Usando os elementos de \boldsymbol{\Omega} calculada no passo anterior:
\omega_{1}=\Omega_{32}=-1,\qquad \omega_{2}=\Omega_{13}=-1,\qquad \omega_{3}=\Omega_{21}=-\tfrac{3}{2}.
Portanto
\boldsymbol{\omega}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}.
Como checagem rápida (opcional): a matriz [\boldsymbol{\omega}]_{\times} construída com esse \boldsymbol{\omega} coincide com \boldsymbol{\Omega}.]

Resposta

\nabla\boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}0 & 2 & -1\\[4pt]-1 & 0 & 1\\[4pt]1 & -1 & 0\end{pmatrix}
\boldsymbol{E}=\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]\tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}
\boldsymbol{\Omega}=\begin{pmatrix}0 & \tfrac{3}{2} & -1\\[4pt]-\tfrac{3}{2} & 0 & 1\\[4pt]1 & -1 & 0\end{pmatrix}
\boldsymbol{\omega}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\\[4pt]-\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}]

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