Questão 7: Considere o campo de deslocamentos de um corpo u_{1}=2 X_{2}-X_{3}, u_{2}=-X_{1}+X_{3} e u_{3}=X_{1}-X_{2}.
(a) Determine o gradiente do deslocamento \nabla \boldsymbol{u}.
(b) Calcule o tensor de deformação infinitesimal \boldsymbol{E} e o tensor de rotação infinitesimal \boldsymbol{\Omega}.
(c) Encontre o vetor de rotação infinitesimal \boldsymbol{\omega} associado a \boldsymbol{\Omega}, tal que \boldsymbol{\Omega} \boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v} para qualquer vetor \boldsymbol{v}.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de deslocamentos em coordenadas (X_{1},X_{2},X_{3}):
O que é pedido:
(a) calcular o gradiente do deslocamento \nabla \boldsymbol{u} (matriz cujas entradas são \partial u_{i}/\partial X_{j});
(b) calcular o tensor de deformação infinitesimal \boldsymbol{E} e o tensor de rotação infinitesimal \boldsymbol{\Omega}, sabendo que estes são, respectivamente, a parte simétrica e a parte antissimétrica de \nabla\boldsymbol{u};
(c) encontrar o vetor de rotação infinitesimal \boldsymbol{\omega} associado a \boldsymbol{\Omega}, tal que \boldsymbol{\Omega}\,\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v} para todo \boldsymbol{v}.
Passo 2
Definição e cálculo do gradiente: por definição a matriz gradiente tem entradas
Comentário didático rápido: \boldsymbol{E} mede alterações simétricas (estiramentos e deformações puras) enquanto elimina os efeitos de rotação rígida.]
Passo 4
Definição do tensor de rotação infinitesimal \boldsymbol{\Omega}: é a parte antissimétrica de \nabla\boldsymbol{u},
Observação: \boldsymbol{\Omega} é antissimétrica (\boldsymbol{\Omega}^{T}=-\boldsymbol{\Omega}), como deve ser para um tensor de rotação infinitesimal.]
Passo 5
Mapeamento antissimétrico \longleftrightarrow vetor de rotação: para todo vetor \boldsymbol{\omega}=(\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}) a matriz antissimétrica que realiza o produto vetorial é
ou seja, para qualquer \boldsymbol{v} vale [\boldsymbol{\omega}]_{\times}\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}.
Para identificar \boldsymbol{\omega} a partir de \boldsymbol{\Omega} igualamos os componentes correspondentes; lendo a matriz acima obtemos imediatamente as relações