Questão 2 Considere o campo vetorial \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}-y z, y^{3}+x z, 1+z^{2}\right). Calcule a integral de linha desse campo ao longo da curva \gamma que é a interseção de x^{2}+y^{2}=1 e x+y+z=5 orientada de tal forma que, quando projetada no plano x y, seja percorrida no sentido horário.
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial \vec{F}(x,y,z) = (\,x^{3}-yz,\;y^{3}+xz,\;1+z^{2}\,)
e a curva \gamma é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano x+y+z=5. Queremos
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r.
Como \gamma é curva fechada, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r = \iint_{S}\bigl(\nabla\times\vec{F}\bigr)\cdot \vec n\,dS,
onde S é qualquer superfície com \partial S=\gamma e \vec n é a normal orientada de forma consistente com a orientação de \gamma.
Pela simetria do disco, \iint_{D}x\,dA=\iint_{D}y\,dA=0 e \iint_{D}dA=\pi. Logo o valor é
10\pi.
Passo 5
Precisamos checar a orientação: \gamma é percorrida de forma que a projeção no plano xy é horária, ou seja, vista de cima (eixo +z) é sentido horário. Pela regra da mão direita, isso corresponde à normal de S apontando para baixo (com componente z negativa). Como calculamos com a normal para cima, devemos inverter o sinal.