Questão 2 Considere o campo vetorial \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{3}-y z, y^{3}+x z, 1+z^{2}\right). Calcule a integral de linha desse campo ao longo da curva \gamma que é a interseção de x^{2}+y^{2}=1 e x+y+z=5 orientada de tal forma que, quando projetada no plano x y, seja percorrida no sentido horário.

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = (\,x^{3}-yz,\;y^{3}+xz,\;1+z^{2}\,)
e a curva \gamma é a interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano x+y+z=5. Queremos
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r.
Como \gamma é curva fechada, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r = \iint_{S}\bigl(\nabla\times\vec{F}\bigr)\cdot \vec n\,dS,
onde S é qualquer superfície com \partial S=\gamma e \vec n é a normal orientada de forma consistente com a orientação de \gamma.

Passo 2

Calculemos o rotacional de \vec{F}:
\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\ x^{3}-yz&y^{3}+xz&1+z^{2} \end{vmatrix} = (-x,\,-y,\,2z).

Passo 3

Escolhemos S como o disco planar dado por
z = 5 - x - y, \quad x^{2}+y^{2}\le1.
Para a parametrização \vec r(x,y)=(x,y,5-x-y), temos
\frac{\partial z}{\partial x}=-1, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-1,
e o elemento de área orientado para cima é
d\vec S_{\uparrow} = \bigl(-z_x,\,-z_y,\,1\bigr)\,dA = (1,\,1,\,1)\,dA.
Então
(\nabla\times\vec F)\cdot d\vec S_{\uparrow} = (-x,-y,2z)\cdot(1,1,1)\,dA = \bigl(-x - y + 2z\bigr)\,dA.
Substituindo z=5-x-y
-\,x - y + 2(5-x-y) =10 -3x -3y.

Passo 4

A integral sobre o disco D:\;x^{2}+y^{2}\le1 com orientação para cima é
\iint_{D}(10 -3x -3y)\,dA =10\iint_{D}dA -3\iint_{D}x\,dA -3\iint_{D}y\,dA.
Pela simetria do disco, \iint_{D}x\,dA=\iint_{D}y\,dA=0 e \iint_{D}dA=\pi. Logo o valor é
10\pi.

Passo 5

Precisamos checar a orientação: \gamma é percorrida de forma que a projeção no plano xy é horária, ou seja, vista de cima (eixo +z) é sentido horário. Pela regra da mão direita, isso corresponde à normal de S apontando para baixo (com componente z negativa). Como calculamos com a normal para cima, devemos inverter o sinal.

Resposta

\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r \;=\;-\,10\pi.

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