Questão 5 Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)=(-y, x) e seja \gamma a curva que é formada pelas arestas do quadrado ligando os pontos (1,1),(2,1),(2,2) e ( 1,2 ) percorrida no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha de \vec{F} ao longo de \gamma.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}
onde \vec{F}(x,y)=(-y,x) e \gamma é o contorno do quadrado com vértices (1,1)\to(2,1)\to(2,2)\to(1,2)\to(1,1) percorrido no sentido anti-horário.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas a integrais de área.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para \vec{F}=(P,Q) com P(x,y)=-y e Q(x,y)=x, vale
\oint_{\gamma}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA
em que D é a região interior ao quadrado.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x)=1,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-y)=-1.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.

Passo 4

A região D é o quadrado 1\le x\le2,\;1\le y\le2. Assim, a integral dupla é
\iint_{D}2\,dA =2\iint_{D}dA =2\cdot (\text{área de }D) =2\cdot1 =2,á
pois a área do quadrado é (2-1)\times(2-1)=1.

Resposta

O valor da integral de linha é 2.

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