Questão 5 Considere o campo vetorial
e seja
a curva que é formada pelas arestas do quadrado ligando os pontos
e ( 1,2 ) percorrida no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha de
ao longo de
.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada
onde
e
é o contorno do quadrado com vértices
percorrido no sentido anti-horário.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas a integrais de área.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas a integrais de área.
Passo 2
Pelo Teorema de Green, para
com
e
, vale
em que
é a região interior ao quadrado.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo,
Passo 4
A região
é o quadrado
. Assim, a integral dupla é
pois a área do quadrado é
.
Resposta
O valor da integral de linha é
.