Questão 4 Considere o seguinte campo vetorial
cuja função potencial é dada por
e faça o que se pede
(a) Verifique que de fato
é uma função potencial para o campo
.
(b) Considere a curva
, e calcule a integral de linha do campo
ao longo de
.
(a) Verifique que de fato
(b) Considere a curva
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e afirma que
é uma função potencial. Na parte (a) vamos verificar que de fato
. Na parte (b) usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha (já que
é conservativo) e calcularemos
em
,
.
Passo 2
Primeiro reescrevemos
Para ver se é potencial, calculamos as derivadas parciais.
Passo 3
Derivando em relação a
:
Em relação a
:
Como essas componentes coincidem com as de
, temos
.
Passo 4
Concluímos que
é função potencial de
, ou seja,
é conservativo.
Passo 5
Para calcular
usamos
usamos
Calculamos os extremos de
:
,
.
Passo 6
Avaliação de
nos extremos:
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Resposta
(a)
é função potencial porque
.
(b) .
(b)