Questão 4 Considere o seguinte campo vetorial
\vec{F}(x, y)=\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)
cuja função potencial é dada por \varphi(x, y)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) e faça o que se pede
(a) Verifique que de fato \varphi é uma função potencial para o campo \vec{F}.
(b) Considere a curva \gamma(t)=\left(e^{t / 2} \cos (t), e^{t / 2} \operatorname{sen}(t)\right) \operatorname{com} t \in[0,2 \pi], e calcule a integral de linha do campo \vec{F} ao longo de \gamma.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\vec F(x,y)=\Bigl(\frac{x}{x^2+y^2},\,\frac{y}{x^2+y^2}\Bigr)
e afirma que
\varphi(x,y)=\ln\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)
é uma função potencial. Na parte (a) vamos verificar que de fato \nabla\varphi=\vec F. Na parte (b) usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha (já que \vec F é conservativo) e calcularemos
\displaystyle\int_\gamma \vec F\cdot d\vec r em
\gamma(t)=(e^{t/2}\cos t,\;e^{t/2}\sin t), t\in[0,2\pi].

Passo 2

Primeiro reescrevemos
\varphi(x,y) =\ln\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr) =\frac12\,\ln\bigl(x^2+y^2\bigr).
Para ver se é potencial, calculamos as derivadas parciais.

Passo 3

Derivando em relação a x:
\frac{\partial\varphi}{\partial x} =\frac12\cdot\frac{2x}{x^2+y^2} =\frac{x}{x^2+y^2}.
Em relação a y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =\frac12\cdot\frac{2y}{x^2+y^2} =\frac{y}{x^2+y^2}.
Como essas componentes coincidem com as de \vec F, temos \nabla\varphi=\vec F.

Passo 4

Concluímos que \varphi é função potencial de \vec F, ou seja, \vec F é conservativo.

Passo 5

Para calcular
\displaystyle\int_\gamma \vec F\cdot d\vec r
usamos
\int_\gamma \vec F\cdot d\vec r =\varphi\bigl(\gamma(2\pi)\bigr)-\varphi\bigl(\gamma(0)\bigr).
Calculamos os extremos de \gamma:
\gamma(0)=(e^0\cos0,e^0\sin0)=(1,0),
\gamma(2\pi)=(e^{\pi}\cos2\pi,e^{\pi}\sin2\pi)=(e^{\pi},0).

Passo 6

Avaliação de \varphi nos extremos:
\varphi(1,0) =\ln\bigl(\sqrt{1^2+0}\bigr) =\ln(1)=0,
\varphi(e^{\pi},0) =\ln\bigl(\sqrt{(e^{\pi})^2+0}\bigr) =\ln\bigl(e^{\pi}\bigr) =\pi.
Logo
\int_\gamma \vec F\cdot d\vec r =\pi-0=\pi.

Resposta

(a) \varphi é função potencial porque \nabla\varphi=(\tfrac{x}{x^2+y^2},\tfrac{y}{x^2+y^2})=\vec F.
(b) \displaystyle\int_\gamma \vec F\cdot d\vec r=\pi.

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