Questão 8: Considere uma carga de um mol de elétrons separada a 10^{-9} m de uma carga de um mol de prótons. Calcule as forças gravitacional e elétrica entre as cargas. Em seguida, calcule a razão entre essas forças

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule três coisas: a força gravitacional entre uma “carga” formada por um mol de elétrons e outra “carga” formada por um mol de prótons separadas por 10^{-9}\,\mathrm{m}; a força elétrica entre essas mesmas duas coleções de partículas; e, por fim, a razão entre a força elétrica e a força gravitacional. As informações explícitas do enunciado são:
Uma coleção com um mol de elétrons.
Uma coleção com um mol de prótons.
Distância entre as coleções r = 10^{-9}\,\mathrm{m}.
Nada mais foi dado no enunciado; para resolver preciso usar constantes físicas padrão (ver próximo passo).

Passo 2

Vou usar duas leis físicas básicas: a lei da gravitação universal de Newton para a força gravitacional e a lei de Coulomb para a força elétrica. Vou explicá-las e definir cada símbolo.
Lei da gravitação (módulo da força entre duas massas):
F_{\text{g}} = G\,\frac{M_1 M_2}{r^2},
onde F_{\text{g}} é a força gravitacional (em newtons, \mathrm{N}), G é a constante gravitacional ( G \approx 6{,}67430\times 10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2}), M_1 e M_2 são as massas das duas coleções (em kg) e r é a distância entre os centros (em m). Aqui M_1 será a massa de um mol de elétrons e M_2 a massa de um mol de prótons.
Explicação de como obter M de “um mol” de partículas: a massa de um mol de uma espécie é o produto do número de Avogadro N_A pelo valor da massa de uma partícula. Ou seja,
M = N_A \, m_{\text{partícula}},í
onde N_A = 6{,}02214076\times 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}.
Lei de Coulomb (módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes):
F_{\text{e}} = k\,\frac{Q_1 Q_2}{r^2},
onde F_{\text{e}} é a força elétrica (em \mathrm{N}), k é a constante eletrostática no vácuo ( k \approx 8{,}9875517923\times 10^{9}\,\mathrm{N\,m^2/C^2}), Q_1 e Q_2 são as cargas elétricas (em coulombs, \mathrm{C}) e r é a distância entre elas. Aqui Q_1 será a carga total de um mol de elétrons (módulo) e Q_2 a carga total de um mol de prótons (módulo). A carga elementar é e = 1{,}602176634\times 10^{-19}\,\mathrm{C}, então a carga de um mol é
Q = N_A\,e.
Constantes numéricas que vou usar (valores CODATA, apresentados e explicados):
N_A = 6{,}02214076\times 10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}} (número de Avogadro).
m_e = 9{,}10938356\times 10^{-31}\,\mathrm{kg} (massa do elétron).
m_p = 1{,}67262192369\times 10^{-27}\,\mathrm{kg} (massa do próton).
e = 1{,}602176634\times 10^{-19}\,\mathrm{C} (carga elementar).
G = 6{,}67430\times 10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2}.
k = 8{,}9875517923\times 10^{9}\,\mathrm{N\,m^2/C^2}.
Distância: \;r = 10^{-9}\,\mathrm{m}.
Agora vou calcular passo a passo as massas molares e as cargas molares, e então aplicar as fórmulas acima.

Passo 3

Calcular a massa de um mol de elétrons M_e e a massa de um mol de prótons M_p.
Usando M = N_A m:
M_e = N_A m_e = (6{,}02214076\times 10^{23})\,(9{,}10938356\times 10^{-31})\,\mathrm{kg}.
Multiplicando os fatores (juntando as potências de 10):
M_e \approx 5{,}485799\times 10^{-7}\,\mathrm{kg}.
Agora para os prótons:
M_p = N_A m_p = (6{,}02214076\times 10^{23})\,(1{,}67262192369\times 10^{-27})\,\mathrm{kg},
o que dá (essa é aproximadamente a massa molar do núcleo do hidrogênio):
M_p \approx 1{,}0072764669\times 10^{-3}\,\mathrm{kg}.
Comentários: esses números fazem sentido fisicamente — um mol de prótons tem massa da ordem de 10^{-3}\,\mathrm{kg} (cerca de 1 grama), enquanto um mol de elétrons pesa muito menos, da ordem de 10^{-7}\,\mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular a força gravitacional usando
F_{\text{g}} = G\,\frac{M_e M_p}{r^2}.
Primeiro calculo o produto M_e M_p:
M_e M_p \approx (5{,}485799\times 10^{-7})\,(1{,}0072764669\times 10^{-3}) \approx 5{,}525700\times 10^{-10}\,\mathrm{kg^2}.
Agora multiplico por G:
G\,M_e M_p \approx (6{,}67430\times 10^{-11})\,(5{,}525700\times 10^{-10}) \approx 3{,}6870\times 10^{-20}\,\mathrm{N\,m^2}.
Dividindo por r^2 com r = 10^{-9}\,\mathrm{m} e r^2 = 10^{-18}\,\mathrm{m^2}:
F_{\text{g}} \approx \frac{3{,}6870\times 10^{-20}}{10^{-18}} = 3{,}6870\times 10^{-2}\,\mathrm{N}.
Portanto:
F_{\text{g}} \approx 3{,}687\times 10^{-2}\,\mathrm{N} \quad(\text{aprox. }0{,}03687\,\mathrm{N}).

Passo 5

Calcular a carga total de um mol de elétrons (módulo) e de um mol de prótons (módulo). Eles são iguais em módulo:
Q = N_A e = (6{,}02214076\times 10^{23})\,(1{,}602176634\times 10^{-19})\,\mathrm{C}.
Esse produto é conhecido como constante de Faraday (módulo) e vale:
Q \approx 9{,}648533212\times 10^{4}\,\mathrm{C}.
Ou seja,
Q \approx 9{,}6485\times 10^{4}\,\mathrm{C} \quad(\text{aprox. }96485{,}33\,\mathrm{C}).

Passo 6

Calcular a força elétrica usando a lei de Coulomb:
F_{\text{e}} = k\,\frac{Q^2}{r^2}.
Calculo Q^2:
Q^2 \approx (9{,}648533212\times 10^{4})^2 \approx 9{,}306379\times 10^{9}\,\mathrm{C^2}.
Multiplico por k:
k Q^2 \approx (8{,}9875517923\times 10^{9})\,(9{,}306379\times 10^{9}) \approx 8{,}3741\times 10^{19}\,\mathrm{N\,m^2}.
Dividindo por r^2 = 10^{-18}\,\mathrm{m^2}:
F_{\text{e}} \approx \frac{8{,}3741\times 10^{19}}{10^{-18}} = 8{,}3741\times 10^{37}\,\mathrm{N}.
Portanto:
F_{\text{e}} \approx 8{,}37\times 10^{37}\,\mathrm{N}.
Observação didática: essa força é astronomicamente grande porque estamos colocando cargas enormes (um mol de cargas) muito próximas ( 10^{-9}\,\mathrm{m} é da ordem do tamanho de átomos), então a força elétrica é imensa. Já a força gravitacional entre essas massas, embora pequena em termos humanos, ao dividir por r^2 tão pequeno, atingiu uma ordem de 10^{-2}\,\mathrm{N} — ainda assim muito menor que a força elétrica.

Passo 7

Calcular a razão \dfrac{F_{\text{e}}}{F_{\text{g}}}. Usando os valores aproximados que obtivemos:
\frac{F_{\text{e}}}{F_{\text{g}}} \approx \frac{8{,}3741\times 10^{37}}{3{,}6870\times 10^{-2}}.
Faço a divisão tratando potências de 10:
\frac{8{,}3741}{3{,}6870} \times 10^{37 - (-2)} \approx 2{,}272\times 10^{39}.
Ou seja, a força elétrica é da ordem de 10^{39} vezes maior que a força gravitacional entre essas duas coleções de partículas nas condições dadas.

Resposta

F_{\text{g}} \approx 3{,}687\times 10^{-2}\,\mathrm{N}
F_{\text{e}} \approx 8{,}374\times 10^{37}\,\mathrm{N}
\dfrac{F_{\text{e}}}{F_{\text{g}}} \approx 2{,}27\times 10^{39}

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