Questão 8: Considere uma carga de um mol de elétrons separada a
de uma carga de um mol de prótons. Calcule as forças gravitacional e elétrica entre as cargas. Em seguida, calcule a razão entre essas forças
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule três coisas: a força gravitacional entre uma “carga” formada por um mol de elétrons e outra “carga” formada por um mol de prótons separadas por
; a força elétrica entre essas mesmas duas coleções de partículas; e, por fim, a razão entre a força elétrica e a força gravitacional. As informações explícitas do enunciado são:
Uma coleção com um mol de elétrons.
Uma coleção com um mol de prótons.
Distância entre as coleções
.
Nada mais foi dado no enunciado; para resolver preciso usar constantes físicas padrão (ver próximo passo).
Nada mais foi dado no enunciado; para resolver preciso usar constantes físicas padrão (ver próximo passo).
Passo 2
Vou usar duas leis físicas básicas: a lei da gravitação universal de Newton para a força gravitacional e a lei de Coulomb para a força elétrica. Vou explicá-las e definir cada símbolo.
Lei da gravitação (módulo da força entre duas massas):
onde
é a força gravitacional (em newtons,
),
é a constante gravitacional (
),
e
são as massas das duas coleções (em kg) e
é a distância entre os centros (em m). Aqui
será a massa de um mol de elétrons e
a massa de um mol de prótons.
Explicação de como obter
de “um mol” de partículas: a massa de um mol de uma espécie é o produto do número de Avogadro
pelo valor da massa de uma partícula. Ou seja,
onde
.
Lei de Coulomb (módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes):
onde
é a força elétrica (em
),
é a constante eletrostática no vácuo (
),
e
são as cargas elétricas (em coulombs,
) e
é a distância entre elas. Aqui
será a carga total de um mol de elétrons (módulo) e
a carga total de um mol de prótons (módulo). A carga elementar é
, então a carga de um mol é
Constantes numéricas que vou usar (valores CODATA, apresentados e explicados):
(número de Avogadro).
(massa do elétron).
(massa do próton).
(carga elementar).
.
.
Distância: .
Distância:
Agora vou calcular passo a passo as massas molares e as cargas molares, e então aplicar as fórmulas acima.
Passo 3
Calcular a massa de um mol de elétrons
e a massa de um mol de prótons
.
Usando
:
Multiplicando os fatores (juntando as potências de 10):
Agora para os prótons:
o que dá (essa é aproximadamente a massa molar do núcleo do hidrogênio):
Comentários: esses números fazem sentido fisicamente — um mol de prótons tem massa da ordem de
(cerca de 1 grama), enquanto um mol de elétrons pesa muito menos, da ordem de
.
Passo 4
Calcular a força gravitacional usando
Primeiro calculo o produto
:
Agora multiplico por
:
Dividindo por
com
e
:
Portanto:
Passo 5
Calcular a carga total de um mol de elétrons (módulo) e de um mol de prótons (módulo). Eles são iguais em módulo:
Esse produto é conhecido como constante de Faraday (módulo) e vale:
Ou seja,
Passo 6
Calcular a força elétrica usando a lei de Coulomb:
Calculo
:
Multiplico por
:
Dividindo por
:
Portanto:
Observação didática: essa força é astronomicamente grande porque estamos colocando cargas enormes (um mol de cargas) muito próximas (
é da ordem do tamanho de átomos), então a força elétrica é imensa. Já a força gravitacional entre essas massas, embora pequena em termos humanos, ao dividir por
tão pequeno, atingiu uma ordem de
— ainda assim muito menor que a força elétrica.
Passo 7
Calcular a razão
. Usando os valores aproximados que obtivemos:
Faço a divisão tratando potências de 10:
Ou seja, a força elétrica é da ordem de
vezes maior que a força gravitacional entre essas duas coleções de partículas nas condições dadas.