Questão 9: Considere uma carga de um mol de nêutrons separada a 10^{-9} m de uma carga de um mol de prótons. Calcule as forças gravitacional e elétrica

Passo 1

O enunciado: “Considere uma carga de um mol de nêutrons separada a 10^{-9}\\ \mathrm{m} de uma carga de um mol de prótons. Calcule as forças gravitacional e elétrica.”\n
Informações dadas e pedidos (listadas claramente):\n
  • Distância entre as duas “cargas”: r = 10^{-9}\\ \mathrm{m}.\n
  • Temos “um mol de nêutrons” e “um mol de prótons”. Isso significa que cada conjunto contém N_A partículas, onde N_A é a constante de Avogadro.\n
  • Pedir para calcular: a força gravitacional entre esses dois conjuntos de massa e a força elétrica entre eles.\n
    Observação importante (usada depois): nêutrons têm carga elétrica elétrica zero (são eletricamente neutros); prótons têm carga elementar positiva +e. Não vamos resolver nada ainda, apenas identificamos os dados.

Passo 2

Lei da gravitação universal (fórmula que vamos usar):\n
F_g = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}\n
Explicando a fórmula e cada símbolo:\n
  • F_g é a força gravitacional entre as duas massas (em newtons, \mathrm{N}).\n
  • G é a constante gravitacional universal. Usaremos G = 6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}.\n
  • m_1 e m_2 são as massas dos dois corpos (em \mathrm{kg}). Neste problema, m_1 é a massa de um mol de nêutrons e m_2 é a massa de um mol de prótons.\n
  • r é a separação entre os centros de massa, já dada como r = 10^{-9}\\ \mathrm{m}.\n
    Vamos calcular m_1 e m_2 em passos claros.

Passo 3

Massa de um mol de nêutrons e de um mol de prótons:\n
  • Constante de Avogadro: N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.\n
  • Massa de um nêutron: m_n \approx 1{,}675\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.\n
  • Massa de um próton: m_p \approx 1{,}673\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.\n
    Massa de um mol de nêutrons:\n
m_1 = N_A\,m_n = \left(6{,}022\times10^{23}\right)\left(1{,}675\times10^{-27}\right)\\ \mathrm{kg}\n
Calculemos passo a passo:\n
Produto dos coeficientes: 6{,}022\times1{,}675 = 10{,}08685 (aproximando com cuidado).\n
Potência de dez: 10^{23}\times10^{-27}=10^{-4}.\n
Logo\n
m_1 \approx 10{,}08685\times10^{-4}\\ \mathrm{kg} = 1{,}008685\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.\n
Arredondando convenientemente, podemos usar\n
m_1 \approx 1{,}0087\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.\n
Agora massa de um mol de prótons:\n
m_2 = N_A\,m_p = \left(6{,}022\times10^{23}\right)\left(1{,}673\times10^{-27}\right)\\ \mathrm{kg}\n
Produto: 6{,}022\times1{,}673 = 10{,}074 (aproximando).\n
Potência de dez: 10^{-4} novamente.\n
Logo\n
m_2 \approx 1{,}0074\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Multiplicação m_1 m_2 (precisamos disso na fórmula de Newton):\n
Usando os valores aproximados de m_1 e m_2:\n
m_1 m_2 \approx (1{,}0087\times10^{-3})(1{,}0074\times10^{-3})\\ \mathrm{kg^2}.\n
Multiplicando coeficientes: 1{,}0087\times1{,}0074 \approx 1{,}0162.\n
Potência de dez: 10^{-3}\times10^{-3}=10^{-6}.\n
Logo\n
m_1 m_2 \approx 1{,}0162\times10^{-6}\\ \mathrm{kg^2}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de F_g:\n
F_g = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}\n
Substituindo os valores numéricos:\n
G = 6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}},\quad m_1 m_2 \approx 1{,}0162\times10^{-6}\\ \mathrm{kg^2},\quad r = 10^{-9}\\ \mathrm{m}.\n
Calcule o numerador:\n
G\,m_1 m_2 \approx (6{,}674\times10^{-11})(1{,}0162\times10^{-6}) = 6{,}782\times10^{-17}\\ \mathrm{N\,m^2}.\n
Agora r^2 = (10^{-9})^2 = 10^{-18}\\ \mathrm{m^2}.\n
Dividindo:\n
F_g \approx \frac{6{,}782\times10^{-17}}{10^{-18}} = 6{,}782\times10^{1}\\ \mathrm{N}.\n
Arredondando com três algarismos significativos:\n
F_g \approx 6{,}78\times10^{1}\\ \mathrm{N} \quad(\text{aprox. }68\\ \mathrm{N}).\n
Comentário físico rápido: esse valor relativamente grande vem do fato de termos um número enorme de partículas (um mol) em cada bloco; massas macroscópicas próximas a 10^{-3}\\ \mathrm{kg} interagindo a distância muito pequena 10^{-9}\\ \mathrm{m} geram uma força apreciável.

Passo 6

Lei de Coulomb (força elétrica entre duas cargas puntiformes):\n
F_e = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2}\n
Explicando os símbolos:\n
  • F_e é a força elétrica (em \mathrm{N}).\n
  • k é a constante eletrostática no vácuo, k = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2\,C^{-2}}.\n
  • q_1 e q_2 são as cargas elétricas dos dois corpos (em coulombs, \mathrm{C}).\n
  • r é a separação (já dada).\n
    Identificação das cargas neste problema:\n
  • Um nêutron isolado tem carga elétrica zero (é neutro). Portanto a carga total de um mol de nêutrons é\n q_{\text{nêutrons}} = 0.ê\n
  • A carga de um próton é +e com e = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}. A carga total de um mol de prótons seria\n q_{\text{prótons}} = N_A\,e \approx (6{,}022\times10^{23})(1{,}602\times10^{-19}) \approx 9{,}647\times10^{4}\\ \mathrm{C}.ó\n
Mas atenção: para calcular F_e precisamos do produto q_1 q_2. Como q_{\text{nêutrons}} = 0ê, concluímos imediatamente que\n q_1 q_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad F_e = 0.\n
Portanto a força elétrica entre um conjunto neutro (um mol de nêutrons) e um conjunto de prótons é nula — porque uma das cargas é zero. (Observação pedagógica: se ambos fossem cargas não nulas, repetiríamos o cálculo com k, q e r; mas aqui não é necessário porque zero multiplicando basta.)

Passo 7

Resumo interpretativo e checagem rápida:\n
  • A força gravitacional calculada com as massas de um mol de nêutrons e um mol de prótons separadas por 10^{-9}\\ \mathrm{m} ficou da ordem de dezenas de newtons, \sim 6,78\times10^{1}\\ \mathrm{N}.\n
  • A força elétrica é exatamente zero porque um mol de nêutrons tem carga total nula.\n
    Se quiser comparar: se em vez de nêutrons tivéssemos um mol de cargas opostas (por exemplo, um mol de elétrons versus um mol de prótons), a força elétrica seria gigantesca e muito maior que a gravitacional — isso ilustra por que interações eletrostáticas dominam em muitas situações entre partículas carregadas.

Resposta

F_g \approx 6{,}78\times10^{1}\\ \mathrm{N}\n
F_e = 0\\ \mathrm{N}

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