QUESTÃO 4 - Considere uma combinação de motor e bomba de calor similar à do Problema anterior, que opere com a temperatura baixa igual a 400 K . Qual deveria ser a temperatura alta, de forma que o motor fosse reversível? Para essa temperatura, qual é o COP para uma bomba de calor reversível?
Passo 1
O enunciado dá que a temperatura baixa vale
e pede duas coisas: (1) qual deve ser a temperatura alta
para que o motor seja reversível; (2) para essa temperatura, qual é o coeficiente de desempenho (COP) de uma bomba de calor reversível.
Importante: o enunciado menciona “similar ao Problema anterior”, que provavelmente fornece um valor numérico da eficiência do motor ou outra informação necessária para obter um valor numérico de . Esse dado do problema anterior não foi fornecido aqui. Portanto, não é possível obter um valor numérico único para
sem saber a eficiência (ou outra informação equivalente) do motor do problema anterior. Vou então proceder mostrando as fórmulas e a dedução passo a passo, deixando
(a eficiência do motor, quando necessária) como parâmetro. Vou também dar um exemplo numérico ilustrativo no final.
Importante: o enunciado menciona “similar ao Problema anterior”, que provavelmente fornece um valor numérico da eficiência do motor ou outra informação necessária para obter um valor numérico de
Passo 2
O que significa “motor reversível” (aqui, motor de Carnot) em termos de temperaturas?
A eficiência de um motor reversível (Carnot) que opera entre reservatórios à temperatura alta e baixa
é dada por
A eficiência de um motor reversível (Carnot) que opera entre reservatórios à temperatura alta
Explicando a fórmula:
é a fração da energia térmica absorvida na fonte quente que é convertida em trabalho;
e
são as temperaturas (em kelvin) dos reservatórios frio e quente, respectivamente. Essa expressão vem do fato de que, em ciclo reversível, as trocas de calor satisfazem
e a eficiência é
; substituindo a relação reversível dá a fórmula acima.
Agora resolvemos essa equação para
em função de
e de
. Partimos de
Isolando
:
Cada passo: primeiro passei
para o outro lado; depois inverti a fração para isolar
.
Passo 3
Substituindo o valor numérico dado para
(que é
), obtemos a expressão de
em função da eficiência reversível:
Observação sobre domínio: para
finito e positivo é necessário
. Como mencionei antes, sem um valor numérico de
(que deveria vir do “Problema anterior”), não dá para calcular um número único para
. Exemplo ilustrativo: se por acaso
(25%), então
Passo 4
Agora vamos ao COP (coeficiente de desempenho) de uma bomba de calor reversível que opera entre as mesmas temperaturas. Definição: o COP de uma bomba de calor que entrega calor ao reservatório quente é
onde
é o calor entregue à fonte quente e
é o trabalho fornecido à bomba. Para um ciclo reversível (Carnot) vale a relação de temperaturas para os calores:
Além disso
. Usando
obtemos
Logo
Simplificando, uma forma muito usada é
Explicação das variáveis:
é adimensional;
e
são temperaturas em kelvin.
Passo 5
Relacionando o COP com a eficiência do motor reversível: da equação de eficiência temos
. Então
Portanto, para um par de dispositivos reversíveis que operam entre as mesmas temperaturas, o COP da bomba de calor reversível é simplesmente o recíproco da eficiência do motor reversível. Substituindo
na forma em função das temperaturas o COP também pode ser escrito como
Exemplo usando o mesmo exemplo numérico de antes (
):
. Conferindo com a expressão em temperaturas, com
,
Passo 6
Resumo prático e conclusão: sem o valor numérico da eficiência do motor (ou outra informação equivalente do enunciado anterior) não dá para fornecer um único número para
nem para o
. O que posso afirmar com certeza e que é geralmente o objetivo desta questão é fornecer as fórmulas que ligam tudo, e que permitem calcular os números assim que você tiver
ou qualquer dado equivalente.