QUESTÃO 4 - Considere uma combinação de motor e bomba de calor similar à do Problema anterior, que opere com a temperatura baixa igual a 400 K . Qual deveria ser a temperatura alta, de forma que o motor fosse reversível? Para essa temperatura, qual é o COP para uma bomba de calor reversível?

Passo 1

O enunciado dá que a temperatura baixa vale \,T_c=400\\ \mathrm{K}\, e pede duas coisas: (1) qual deve ser a temperatura alta \,T_h\, para que o motor seja reversível; (2) para essa temperatura, qual é o coeficiente de desempenho (COP) de uma bomba de calor reversível.
Importante: o enunciado menciona “similar ao Problema anterior”, que provavelmente fornece um valor numérico da eficiência do motor ou outra informação necessária para obter um valor numérico de \,T_h. Esse dado do problema anterior não foi fornecido aqui. Portanto, não é possível obter um valor numérico único para \,T_h sem saber a eficiência (ou outra informação equivalente) do motor do problema anterior. Vou então proceder mostrando as fórmulas e a dedução passo a passo, deixando \,\eta\, (a eficiência do motor, quando necessária) como parâmetro. Vou também dar um exemplo numérico ilustrativo no final.

Passo 2

O que significa “motor reversível” (aqui, motor de Carnot) em termos de temperaturas?
A eficiência de um motor reversível (Carnot) que opera entre reservatórios à temperatura alta \,T_h\, e baixa \,T_c\, é dada por
\eta_{\text{rev}} = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Explicando a fórmula: \eta_{\text{rev}} é a fração da energia térmica absorvida na fonte quente que é convertida em trabalho; \,T_c e \,T_h são as temperaturas (em kelvin) dos reservatórios frio e quente, respectivamente. Essa expressão vem do fato de que, em ciclo reversível, as trocas de calor satisfazem \,Q_h/T_h = Q_c/T_c\, e a eficiência é \eta = 1 - Q_c/Q_h; substituindo a relação reversível dá a fórmula acima.
Agora resolvemos essa equação para \,T_h\, em função de \eta_{\text{rev}} e de \,T_c. Partimos de
\eta_{\text{rev}} = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Isolando \,T_h:
\eta_{\text{rev}} = 1 - \frac{T_c}{T_h} \quad\Longrightarrow\quad \frac{T_c}{T_h} = 1 - \eta_{\text{rev}} \quad\Longrightarrow\quad T_h = \frac{T_c}{1 - \eta_{\text{rev}}}.
Cada passo: primeiro passei \frac{T_c}{T_h} para o outro lado; depois inverti a fração para isolar \,T_h.

Passo 3

Substituindo o valor numérico dado para \,T_c (que é \,400\\ \mathrm{K}\,), obtemos a expressão de \,T_h em função da eficiência reversível:
T_h = \frac{400}{1 - \eta_{\text{rev}}}\\ \mathrm{K}.
Observação sobre domínio: para \,T_h finito e positivo é necessário 0<\eta_{\text{rev}}<1. Como mencionei antes, sem um valor numérico de \eta_{\text{rev}} (que deveria vir do “Problema anterior”), não dá para calcular um número único para \,T_h. Exemplo ilustrativo: se por acaso \eta_{\text{rev}}=0{,}25 (25%), então
T_h = \frac{400}{1-0{,}25} = \frac{400}{0{,}75} = 533{,}333\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Agora vamos ao COP (coeficiente de desempenho) de uma bomba de calor reversível que opera entre as mesmas temperaturas. Definição: o COP de uma bomba de calor que entrega calor ao reservatório quente é
\mathrm{COP} = \frac{Q_h}{W},
onde Q_h é o calor entregue à fonte quente e W é o trabalho fornecido à bomba. Para um ciclo reversível (Carnot) vale a relação de temperaturas para os calores:
\frac{Q_h}{Q_c} = \frac{T_h}{T_c}.
Além disso W = Q_h - Q_c. Usando Q_c = Q_h\frac{T_c}{T_h} obtemos
W = Q_h\!\left(1 - \frac{T_c}{T_h}\right).
Logo
\mathrm{COP} = \frac{Q_h}{W} = \frac{Q_h}{Q_h\!\left(1 - \dfrac{T_c}{T_h}\right)} = \frac{1}{1 - \dfrac{T_c}{T_h}}.
Simplificando, uma forma muito usada é
\mathrm{COP} = \frac{T_h}{T_h - T_c}.
Explicação das variáveis: \mathrm{COP} é adimensional; \,T_h e \,T_c são temperaturas em kelvin.

Passo 5

Relacionando o COP com a eficiência do motor reversível: da equação de eficiência temos \eta_{\text{rev}} = 1 - T_c/T_h. Então
\mathrm{COP} = \frac{1}{1 - \dfrac{T_c}{T_h}} = \frac{1}{\eta_{\text{rev}}}.
Portanto, para um par de dispositivos reversíveis que operam entre as mesmas temperaturas, o COP da bomba de calor reversível é simplesmente o recíproco da eficiência do motor reversível. Substituindo T_c=400\\ \mathrm{K} na forma em função das temperaturas o COP também pode ser escrito como
\mathrm{COP} = \frac{T_h}{T_h-400}.
Exemplo usando o mesmo exemplo numérico de antes ( \eta_{\text{rev}}=0{,}25): \mathrm{COP}=1/0{,}25=4. Conferindo com a expressão em temperaturas, com T_h=533{,}333\\ \mathrm{K},
\mathrm{COP} = \frac{533{,}333}{533{,}333-400} = \frac{533{,}333}{133{,}333} = 4.

Passo 6

Resumo prático e conclusão: sem o valor numérico da eficiência do motor (ou outra informação equivalente do enunciado anterior) não dá para fornecer um único número para \,T_h nem para o \mathrm{COP}. O que posso afirmar com certeza e que é geralmente o objetivo desta questão é fornecer as fórmulas que ligam tudo, e que permitem calcular os números assim que você tiver \eta_{\text{rev}} ou qualquer dado equivalente.

Resposta

T_h = \dfrac{400}{1 - \eta_{\text{rev}}}\\ \mathrm{K}\n \mathrm{COP} = \dfrac{T_h}{T_h - 400} = \dfrac{1}{\eta_{\text{rev}}}

Exercícios relacionados