Água fria entra em um trocador de calor contracorrente a 10^{\circ} \mathrm{C} a uma taxa de 8 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, onde é aquecida por um escoamento de água quente que entra no trocador de calor a 70^{\circ} \mathrm{C} a uma taxa de 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considerando que o calor específico da água se mantém constante em \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}, determine a taxa máxima de transferência de calor e as temperaturas de saída dos escoamentos de água fria e quente para este caso-limite.
Propriedades: O calor específico da água é dado como \mathrm{c}_{\mathrm{P}}=4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}.

Passo 1

O enunciado pede a taxa máxima de transferência de calor e as temperaturas de saída dos dois fluxos (água fria e água quente) para o caso-limite em um trocador contracorrente. As informações fornecidas (peguei esses dados da imagem/enunciado) são:
\text{água fria: } \dot m_c = 8\\ \mathrm{kg/s},\quad T_{c,in}=10^\circ\mathrm{C}á
\text{água quente: } \dot m_h = 2\\ \mathrm{kg/s},\quad T_{h,in}=70^\circ\mathrm{C}á
O calor específico é dado como
c_p = 4,18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
O que temos que encontrar é:
  • a taxa máxima de calor \dot Q_{\max};
  • a temperatura de saída da água fria T_{c,out};
  • a temperatura de saída da água quente T_{h,out}.

Passo 2

Explico um conceito importante: a taxa de capacidade térmica de um fluxo (ou capacidade calorífica em fluxo) é
C = \dot m\, c_p,
onde \dot m é a vazão mássica (em \mathrm{kg/s}) e c_p é o calor específico (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}). A unidade resultante é \mathrm{kJ/(s\cdot K)}, que é igual a \mathrm{kW/K}. Essa grandeza diz quanto de energia por segundo (potência) se obtém quando a temperatura do fluido varia 1 K. Em trocadores de calor a transferência máxima é limitada pelo menor desses valores (o menor “capacidade térmica” não consegue ceder/absorver mais calor à taxa necessária), então definimos
C_{\min}=\min(C_c,C_h),\qquad C_{\max}=\max(C_c,C_h).

Passo 3

Calculo as capacidades térmicas dos dois fluxos usando \,C=\dot m\,c_p.
C_c = \dot m_c\,c_p = (8)\cdot(4,18) = 33,44\\ \mathrm{kW/K}.
C_h = \dot m_h\,c_p = (2)\cdot(4,18) = 8,36\\ \mathrm{kW/K}.
Portanto
C_{\min}=C_h=8,36\\ \mathrm{kW/K},\qquad C_{\max}=C_c=33,44\\ \mathrm{kW/K}.

Passo 4

Agora a ideia física do caso-limite (máximo possível de transferência de calor): o maior calor que pode ser transferido entre os dois fluxos é limitado pela menor capacidade térmica multiplicada pela diferença de temperatura entre o fluido quente de entrada e o fluido frio de entrada. Ou seja,
\dot Q_{\max} = C_{\min}\left(T_{h,in}-T_{c,in}\right).
Justificação didática curta: a energia trocada por segundo não pode exceder o que o fluido de menor capacidade consegue ceder/absorver ao mudar da sua temperatura de entrada até o limite imposto pela outra corrente; em contracorrente, no limite ideal (área muito grande), o fluido com menor C pode trocar calor até a temperatura do outro fluido de entrada, levando à expressão acima.

Passo 5

Calculo a taxa máxima de calor usando a fórmula do passo anterior:
\dot Q_{\max} = C_{\min}\left(T_{h,in}-T_{c,in}\right) = 8,36\cdot(70-10).
\dot Q_{\max} = 8,36\cdot 60 = 501,6\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Agora obtenho as temperaturas de saída usando balanço energético: para qualquer operação em regime permanente,
\dot Q = C_c\,(T_{c,out}-T_{c,in}) = C_h\,(T_{h,in}-T_{h,out}).
No caso-limite usamos \dot Q=\dot Q_{\max}. Primeiro calculo T_{h,out} (fica simples porque C_{\min}=C_h):
T_{h,out} = T_{h,in} - \frac{\dot Q_{\max}}{C_h}.
Substituindo \dot Q_{\max}=C_h\,(T_{h,in}-T_{c,in}) temos (mostrando o cancelamento)
T_{h,out} = T_{h,in} - \frac{C_h\,(T_{h,in}-T_{c,in})}{C_h} = T_{c,in}.
Logo, no limite o fluxo de menor capacidade (a água quente) esfriar até a temperatura de entrada do fluido frio:
T_{h,out} = 10^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Agora calculo T_{c,out} usando a outra igualdade:
T_{c,out} = T_{c,in} + \frac{\dot Q_{\max}}{C_c}.
Substituindo números:
T_{c,out} = 10 + \frac{501{,}6}{33{,}44}.
Faço a divisão:
\frac{501{,}6}{33{,}44}=15{,}0\\ \mathrm{K}.
Portanto
T_{c,out} = 10 + 15 = 25^\circ\mathrm{C}.
(Observação didática: como C_c é maior que C_h, a corrente fria recebe calor, mas por ter maior capacidade térmica sua elevação de temperatura é menor; o calor disponível do fluxo quente não é suficiente para elevar a água fria até 70^\circ\mathrm{C}.)

Resposta

\dot Q_{\max}=501{,}6\\ \mathrm{kW}
T_{c,out}=25^\circ\mathrm{C}
T_{h,out}=10^\circ\mathrm{C}

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