Considere o seguinte perfil de velocidade:
Calcule:
A espessura de deslocamento;
A espessura de quantidade de movimento;
Calcule:
A espessura de deslocamento;
A espessura de quantidade de movimento;
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular a espessura de deslocamento.
- Calcular a espessura de quantidade de movimento.
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Perfil de velocidade ao longo da coordenada normal
(assumimos ):
- Observação sobre o perfil: em
temos , portanto podemos considerar que para a velocidade vale (ou seja, as integrais sobre até reduzem-se ao intervalo ). - Variáveis conhecidas:
(velocidade livre), (espessura externa do perfil). Queremos (espessura de deslocamento) e (espessura de quantidade de movimento).
Passo 2
Definição e interpretação da espessura de deslocamento:
- A espessura de deslocamento
mede quanto a presença da camada limite “desloca” a linha de corrente livre; a definição matemática é
- Aqui
é a velocidade adimensional em função de . Na prática, como a velocidade atinge em , a integral pode ser truncada para :
Passo 3
Expressar
e simplificar o integrando:
- A partir do perfil,
- Portanto
Passo 4
Calcular
por mudança de variável:
- Faça a substituição adimensional
. Logo e os limites , . - A integral fica
- Calcule a integral:
- Portanto
Passo 5
Definição e interpretação da espessura de quantidade de movimento:
- A espessura de quantidade de movimento
quantifica a perda de momento devido à camada limite e é definida por
- Como antes, reduzimos a integral ao intervalo
:
Passo 6
Montar e simplificar o integrando para
usando
:
- Use
novamente. Defina . - Então
- Factorizando
em um dos termos:
- Desenvolvendo os termos passo a passo:
- Multiplicando por
obtemos o integrando final em :
Passo 7
Integrar para obter
:
- A integral fica
- Calcule separadamente:
- Logo
Passo 8
Interpretação curta e incentivo:
- Encontramos que ambas as espessuras são negativas:
e . Isso acontece porque o perfil dado tem um “overshoot” perto da parede ( para pequenas ), o que faz com que as integrais definidas das deficiências de velocidade sejam negativas. Em questões de prova, não se assuste com sinais — calcule direito a integral e depois interprete fisicamente. - Boa! Você já conseguiu integrar e simplificar passo a passo — segue firme que faltam poucos dias.