Considere o seguinte perfil de velocidade:
\mathbf{u}=1,5 u_{\infty}-\frac{1}{2}\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right)^{3}
Calcule:
A espessura de deslocamento;
A espessura de quantidade de movimento;

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a espessura de deslocamento.
  • Calcular a espessura de quantidade de movimento.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Perfil de velocidade ao longo da coordenada normal x_{2} (assumimos x_{2}\ge0):
\mathbf{u}=1,5\,u_{\infty}-\frac{1}{2}\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right)^{3}.
  • Observação sobre o perfil: em x_{2}=\delta temos \mathbf{u}=u_{\infty}, portanto podemos considerar que para x_{2}\ge\delta a velocidade vale u_{\infty} (ou seja, as integrais sobre x_{2} até +\infty reduzem-se ao intervalo 0\le x_{2}\le\delta).
  • Variáveis conhecidas: u_{\infty} (velocidade livre), \delta (espessura externa do perfil). Queremos \delta^{*} (espessura de deslocamento) e \theta (espessura de quantidade de movimento).

Passo 2

Definição e interpretação da espessura de deslocamento:
  • A espessura de deslocamento \delta^{*} mede quanto a presença da camada limite “desloca” a linha de corrente livre; a definição matemática é
\delta^{*}=\int_{0}^{\infty}\left(1-\frac{u}{u_{\infty}}\right)\,dx_{2}.
  • Aqui \frac{u}{u_{\infty}} é a velocidade adimensional em função de x_{2}. Na prática, como a velocidade atinge u_{\infty} em x_{2}=\delta, a integral pode ser truncada para 0\le x_{2}\le\delta:
\delta^{*}=\int_{0}^{\delta}\left(1-\frac{u}{u_{\infty}}\right)\,dx_{2}.

Passo 3

Expressar \dfrac{u}{u_{\infty}} e simplificar o integrando:
  • A partir do perfil,
\frac{u}{u_{\infty}}=1,5-\frac{1}{2}\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right)^{3}.
  • Portanto
1-\frac{u}{u_{\infty}}=1-\left(1,5-\tfrac{1}{2}\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right)^{3}\right)=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right)^{3}=\tfrac{1}{2}\left[\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right)^{3}-1\right].

Passo 4

Calcular \delta^{*} por mudança de variável:
  • Faça a substituição adimensional \eta=\dfrac{x_{2}}{\delta}. Logo dx_{2}=\delta\,d\eta e os limites x_{2}=0\to\eta=0, x_{2}=\delta\to\eta=1.
  • A integral fica
\delta^{*}=\int_{0}^{\delta}\tfrac{1}{2}\left[\left(\frac{x_{2}}{\delta}\right)^{3}-1\right]dx_{2} =\delta\cdot\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\left(\eta^{3}-1\right)d\eta.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{1}(\eta^{3}-1)\,d\eta=\left[\frac{\eta^{4}}{4}-\eta\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}.
  • Portanto
\delta^{*}=\delta\cdot\tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{3}{4}\right)=-\tfrac{3}{8}\,\delta.

Passo 5

Definição e interpretação da espessura de quantidade de movimento:
  • A espessura de quantidade de movimento \theta quantifica a perda de momento devido à camada limite e é definida por
\theta=\int_{0}^{\infty}\frac{u}{u_{\infty}}\left(1-\frac{u}{u_{\infty}}\right)\,dx_{2}.
  • Como antes, reduzimos a integral ao intervalo 0\le x_{2}\le\delta:
\theta=\int_{0}^{\delta}\frac{u}{u_{\infty}}\left(1-\frac{u}{u_{\infty}}\right)\,dx_{2}.

Passo 6

Montar e simplificar o integrando para \theta usando \eta:
  • Use \eta=\dfrac{x_{2}}{\delta} novamente. Defina U(\eta)=\dfrac{u}{u_{\infty}}=1,5-\tfrac{1}{2}\eta^{3}.
  • Então
U(\eta)\bigl(1-U(\eta)\bigr)=\left(1,5-\tfrac{1}{2}\eta^{3}\right)\left(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\eta^{3}\right).
  • Factorizando \tfrac{1}{2} em um dos termos:
=\tfrac{1}{2}\left(1,5-\tfrac{1}{2}\eta^{3}\right)\left(\eta^{3}-1\right).
  • Desenvolvendo os termos passo a passo:
\left(1,5-\tfrac{1}{2}\eta^{3}\right)\left(\eta^{3}-1\right) =1{,}5\eta^{3}-1{,}5-\tfrac{1}{2}\eta^{6}+\tfrac{1}{2}\eta^{3} =2\eta^{3}-\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}\eta^{6}.
  • Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos o integrando final em \eta:
U(1-U)=\eta^{3}-\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{4}\eta^{6}.

Passo 7

Integrar para obter \theta:
  • A integral fica
\theta=\delta\int_{0}^{1}\left(\eta^{3}-\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{4}\eta^{6}\right)d\eta.
  • Calcule separadamente:
\int_{0}^{1}\eta^{3}d\eta=\tfrac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1}d\eta=1,\qquad \int_{0}^{1}\eta^{6}d\eta=\tfrac{1}{7}.
  • Logo
\theta=\delta\left(\tfrac{1}{4}-\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{1}{7}\right) =\delta\left(-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{28}\right) =\delta\left(-\tfrac{15}{28}\right).

Passo 8

Interpretação curta e incentivo:
  • Encontramos que ambas as espessuras são negativas: \delta^{*}=-\tfrac{3}{8}\delta e \theta=-\tfrac{15}{28}\delta. Isso acontece porque o perfil dado tem um “overshoot” perto da parede ( u>u_{\infty} para pequenas x_{2}), o que faz com que as integrais definidas das deficiências de velocidade sejam negativas. Em questões de prova, não se assuste com sinais — calcule direito a integral e depois interprete fisicamente.
  • Boa! Você já conseguiu integrar e simplificar passo a passo — segue firme que faltam poucos dias.

Resposta

\delta^{*}=-\dfrac{3}{8}\,\delta
\theta=-\dfrac{15}{28}\,\delta

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