Questão 8: Considere o conjunto
formado pelos seguintes vetores:
a) Mostre que
é um conjunto de vetores ortogonais e uma base do
.
b) Encontre as coordenadas de um vetor
em relação à base
.
b) Encontre as coordenadas de um vetor
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: mostrar que os vetores
são ortogonais entre si e, por serem quatro vetores não nulos em
, formam uma base; e em seguida expressar um vetor genérico
nessa base. Vamos usar produto interno, propriedades de sistemas ortogonais e a fórmula de coordenadas em base ortogonal.
Passo 2
Verificamos todos os produtos internos para confirmar ortogonalidade.
Como todos os produtos internos são zero, os vetores são mutuamente ortogonais.
Passo 3
Cada
é não nulo (fica óbvio pelos cálculos seguintes) e há quatro vetores em
. Um sistema ortogonal de vetores não nulos em
é LI e, tendo
vetores em
, forma base.
Passo 4
Calculamos o quadrado das normas para facilitar o cálculo das coordenadas:
Passo 5
Em uma base ortogonal
, as coordenadas de
são dadas por
Passo 6
Aplicando a fórmula em cada
:
Resposta
As coordenadas de
na base
são