Questão 8: Considere o conjunto B subset R^4 formado pelos seguintes vetores:
v1=(1,1,0,-1), v2=(1,2,1,3), v3=(1,1,-9,2), v4=(16,-13,1,3)
a) Mostre que B é um conjunto de vetores ortogonais e uma base do R^4.
b) Encontre as coordenadas de um vetor v=(x, y, z, w) in R^4 em relação à base B.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que os vetores
v1=(1,1,0,-1), v2=(1,2,1,3), v3=(1,1,-9,2), v4=(16,-13,1,3)
são ortogonais entre si e, por serem quatro vetores não nulos em R^4, formam uma base; e em seguida expressar um vetor genérico v=(x,y,z,w) nessa base. Vamos usar produto interno, propriedades de sistemas ortogonais e a fórmula de coordenadas em base ortogonal.

Passo 2

Verificamos todos os produtos internos para confirmar ortogonalidade.
v1cdot v2 =1cdot1+1cdot2+0cdot1+(-1)cdot3=0, v1cdot v3 =1cdot1+1cdot1+0cdot(-9)+(-1)cdot2=0,
v1cdot v4 =1cdot16+1cdot(-13)+0cdot1+(-1)cdot3=0,
v2cdot v3 =1cdot1+2cdot1+1cdot(-9)+3cdot2=0, v2cdot v4 =1cdot16+2cdot(-13)+1cdot1+3cdot3=0,
v3cdot v4 =1cdot16+1cdot(-13)+(-9)cdot1+2cdot3=0
Como todos os produtos internos são zero, os vetores são mutuamente ortogonais.

Passo 3

Cada vi é não nulo (fica óbvio pelos cálculos seguintes) e há quatro vetores em R^4. Um sistema ortogonal de vetores não nulos em R^n é LI e, tendo 4 vetores em R^4, forma base.

Passo 4

Calculamos o quadrado das normas para facilitar o cálculo das coordenadas:
|v1|^2=1^2+1^2+0^2+(-1)^2=3, |v2|^2=1^2+2^2+1^2+3^2=15,
|v3|^2=1^2+1^2+(-9)^2+2^2=87, |v4|^2=16^2+(-13)^2+1^2+3^2=435

Passo 5

Em uma base ortogonal vi, as coordenadas de v são dadas por
ai=vcdot vi|vi|^2

Passo 6

Aplicando a fórmula em cada vi:
a1=x+y+0cdot z+(-1)w3 =x+y-w3,
a2=x+2y+1cdot z+3w15 =x+2y+z+3w15,
a3=x+y+(-9)z+2w87 =x+y-9z+2w87,
a4=16x-13y+1cdot z+3w435 =16x-13y+z+3w435

Resposta

As coordenadas de v=(x,y,z,w) na base B são
l(a1,a2,a3,a4r) =l(tfracx+y-w3,,tfracx+2y+z+3w15,,tfracx+y-9z+2w87,,tfrac16x-13y+z+3w435r)

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