Questão 12: Considere o subespaço
do
gerado pelos vetores:
Encontre:
a) uma base de
.
b) uma base ortogonal de
.
c) uma base ortonormal de
.
d) Encontre as coordenadas de
em relação à base encontrada no item anterior.
a) uma base de
b) uma base ortogonal de
c) uma base ortonormal de
d) Encontre as coordenadas de
Passo 1
O enunciado pede para o subespaço
gerado pelos vetores
encontrar
a) uma base de ,
b) uma base ortogonal de ,
c) uma base ortonormal de ,
d) as coordenadas de na base ortonormal do item (c).
Conteúdo: posto de matrizes (para achar uma base) e processo de Gram–Schmidt (para obter base ortogonal e ortonormal).
a) uma base de
b) uma base ortogonal de
c) uma base ortonormal de
d) as coordenadas de
Conteúdo: posto de matrizes (para achar uma base) e processo de Gram–Schmidt (para obter base ortogonal e ortonormal).
Passo 2
Montamos a matriz cujas linhas são
e verificamos que o posto é
. Isso mostra que três vetores são independentes. Testamos
:
resolvendo
resolvendo
vem
,
,
. Logo são independentes e geram
.
Uma base de é
Uma base de
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt em
. Definimos
Calcula-se
,
→
Em seguida
,
,
, resultando
Portanto uma base ortogonal de
é
Passo 4
Normalizando cada
obtemos a base ortonormal:
Passo 5
Como
é ortonormal, as coordenadas de
são
Calcula-se
,
,
.
Resposta
a)
b)
c)
d) As coordenadas de são
.
b)
c)
d) As coordenadas de