Questão 12: Considere o subespaço U do R^4 gerado pelos vetores:
v1=(1,1,1,1), v2=(1,1,2,4), v3=(1,2,-4,-3) e v4=(3,4,-1,2)
Encontre:
a) uma base de U.
b) uma base ortogonal de U.
c) uma base ortonormal de U.
d) Encontre as coordenadas de v1 em relação à base encontrada no item anterior.

Passo 1

O enunciado pede para o subespaço UsubsetR^4 gerado pelos vetores
v1=(1,1,1,1), v2=(1,1,2,4), v3=(1,2,-4,-3), v4=(3,4,-1,2)
encontrar
a) uma base de U,
b) uma base ortogonal de U,
c) uma base ortonormal de U,
d) as coordenadas de v1 na base ortonormal do item (c).
Conteúdo: posto de matrizes (para achar uma base) e processo de Gram–Schmidt (para obter base ortogonal e ortonormal).

Passo 2

Montamos a matriz cujas linhas são v1,v2,v3,v4 e verificamos que o posto é 3. Isso mostra que três vetores são independentes. Testamos v1,v2,v3:
resolvendo
a,v1+b,v2+c,v3=0
vem c=0, b=-a, a=0. Logo são independentes e geram U.
Uma base de U é
,v1,v2,v3 =(1,1,1,1),,(1,1,2,4),,(1,2,-4,-3)

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt em v1,v2,v3. Definimos
u1=v1, u2=v2-lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=u1, u3=v3-lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=u1 -lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=u2
Calcula-se
lang<= u1,u1rang<==4, lang<= v2,u1rang<==8
u2=(1,1,2,4)-2,(1,1,1,1)=(-1,-1,0,2)
Em seguida
lang<= v3,u1rang<==-4, lang<= v3,u2rang<==-9, lang<= u2,u2rang<==6, resultando
u3=(1,2,-4,-3)-(-1,-1,-1,-1)-l(-tfrac96r)(-1,-1,0,2) =(1,3,-6,2)
Portanto uma base ortogonal de U é
,u1,u2,u3 =(1,1,1,1),,(-1,-1,0,2),,(1,3,-6,2)

Passo 4

Normalizando cada ui obtemos a base ortonormal:
e1=u1|u1|=12(1,1,1,1), e2=u2raiz6=1raiz6(-1,-1,0,2), e3=u3raiz50=1raiz50(1,3,-6,2)

Passo 5

Como e1,e2,e3 é ortonormal, as coordenadas de v1 são
llang<= v1,eirrang<=, i=1,2,3
Calcula-se
lang<= v1,e1rang<==2,
lang<= v1,e2rang<==0,
lang<= v1,e3rang<==0.

Resposta

a) (1,1,1,1),,(1,1,2,4),,(1,2,-4,-3)
b) (1,1,1,1),,(-1,-1,0,2),,(1,3,-6,2)
c) ltfrac12(1,1,1,1),,tfrac1raiz6(-1,-1,0,2),,tfrac1raiz50(1,3,-6,2)r
d) As coordenadas de v1 são (2,0,0).

Exercícios relacionados