Uma parábola que possui diretriz horizontal, passa por P(1,1) e tem vértice V(-1 / 2,0) possui equação geral cartesiana A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0 tal que:
Quando E=1, então A+B+C+D+E+F=4

Passo 1

O enunciado fala de uma parábola cuja diretriz é uma reta horizontal, passa por P(1,1) e tem vértice Vl(-tfrac12,0r).
Conteúdo: definição de parábola via foco–diretriz e forma padrão (x-h)^2=4p(y-k). Vamos usar a distância de um ponto ao foco e à diretriz para achar o parâmetro p, depois escrever a equação no formato geral e escalar para que o coeficiente de y seja E=1.

Passo 2

Seja V=(h,k)=l(-tfrac12,0r). Como a diretriz é horizontal, a parábola abre para cima ou para baixo. Vendo que P(1,1) está acima do vértice, concluímos que ela abre para cima.
Então o foco é
F=l(h,;k+pr)=l(-tfrac12,;pr)
e a diretriz é
y=k-p=-p
Pela definição, a distância de P a F é igual à distância de P à diretriz:
raizl(1-(-tfrac12)r)^2+(1-p)^2 ;=;|,1-(-p),|,

Passo 3

Quadrando ambos os lados,
l(tfrac32r)^2+(1-p)^2=(1+p)^2 ;Longrightarrow; tfrac94+1-2p+p^2=1+2p+p^2 ;Longrightarrow; tfrac94-2p=1+2p ;Longrightarrow; 4p=tfrac94-1=tfrac94-tfrac44=tfrac94-tfrac44=tfrac9-44=tfrac54
Logo
p=tfrac516
Então a forma padrão é
(x-h)^2=4p,(y-k) Longrightarrow l(x+tfrac12r)^2=4cdottfrac516,y ;Longrightarrow; l(x+tfrac12r)^2=tfrac54,y

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar fração,
4l(x+tfrac12r)^2=5y Longrightarrow 4l(x^2+x+tfrac14r)=5y ;Longrightarrow; 4x^2+4x+1-5y=0
Neste momento temos a equação geral
4x^2+0,xy+0,y^2+4x+(-5)y+1=0,
isto é, (A,B,C,D,E,F)=(4,0,0,4,-5,1).

Passo 5

Para impor E=1 basta multiplicar toda a equação por k tal que -5k=1, ou seja k=-tfrac15. Assim os coeficientes tornam-se
A=-tfrac45, B=0, C=0, D=-tfrac45, E=1, F=-tfrac15

Passo 6

Agora somamos todos:
A+B+C+D+E+F =-tfrac45+0+0-tfrac45+1-tfrac15 =l(-tfrac4+4+15r)+1 =-tfrac95+1 =-tfrac95+tfrac55 =-tfrac45neq4
Se refizermos o cálculo de p corretamente, veremos que o valor de p é na verdade tfrac916 (e não tfrac516), e refazendo todos os passos voltamos ao resultado
A+B+C+D+E+F=0

Resposta

0

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