Se \vec{B} é somado a \vec{C}=3 \hat{i}+4 \hat{j}, o resultado é um vetor no sentido do semi-eixo y positivo, com um módulo igual ao de C , qual é o módulo de \vec{C} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \vec{C}=3\hat{i}+4\hat{j}.
  • Ao somar \vec{B} com \vec{C} obtém-se um vetor cujo sentido é o do semi-eixo y positivo (ou seja, paralelo ao eixo y e apontando para +y).
  • O vetor resultante tem módulo igual ao módulo de \vec{C}.
    O que se pede: determinar o módulo de \vec{C}.

Passo 2

Vamos representar \vec{B} por suas componentes no plano: \vec{B}=B_x\hat{i}+B_y\hat{j}, onde B_x e B_y são números reais que representam as componentes nas direções \hat{i} e \hat{j}, respectivamente.
A soma é
\vec{B}+\vec{C}=(B_x+3)\hat{i}+(B_y+4)\hat{j}.
“Ser no sentido do semi-eixo y positivo” significa que o componente na direção \hat{i} é zero e o componente na direção \hat{j} é positivo. Logo:
B_x+3=0.

Passo 3

A condição de módulos iguais é
\lVert \vec{B}+\vec{C}\rVert = \lVert \vec{C}\rVert.
Lembrete prático: o módulo de um vetor com componentes (x,y) é dado pela fórmula (teorema de Pitágoras)
\lVert (x,y)\rVert = \sqrt{x^2+y^2}.
Aplicando isso ao caso:
\sqrt{(B_x+3)^2+(B_y+4)^2}=\sqrt{3^2+4^2}.
Agora vamos simplificar: pela equação do passo anterior sabemos que B_x+3=0, portanto (B_x+3)^2=0. Substituindo e elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar raízes,
(B_y+4)^2 = 3^2+4^2 = 9+16=25.

Passo 4

Da igualdade (B_y+4)^2=25 tiramos
B_y+4=\pm 5.
Mas como \vec{B}+\vec{C} está no sentido positivo do eixo y, o componente B_y+4 deve ser positivo; portanto escolhemos o sinal positivo:
B_y+4=5 \quad\Rightarrow\quad B_y=1.
Resumo das componentes encontradas de \vec{B}: B_x=-3 e B_y=1. Então
\vec{B}+\vec{C}=(0)\hat{i}+(5)\hat{j},
que é realmente um vetor no sentido do semi-eixo y positivo com módulo 5, consistente com a condição.

Passo 5

Agora calculamos explicitamente o módulo de \vec{C} a partir de suas componentes usando o teorema de Pitágoras:
\lVert \vec{C}\rVert = \sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Resposta

5

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