Questão 1. Considere a curva de equação x^2+x y+y^2=1.
( 10 pontos) Determine todos os pontos na curva que têm reta tangente horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a curva dada pela equação $ x^{2} + x y + y^{2} = 1 $. O que a gente precisa descobrir são todos os pontos nessa curva onde a reta tangente é horizontal. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a reta tangente, precisamos calcular a derivada $ \frac{dy}{dx} $ da equação da curva. Já que a equação está em termos de $ x $ e $ y $, vamos usar a diferenciação implícita. Isso significa diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $.
Vamos diferenciar termo a termo:
  • A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $.
  • A derivada de $ x y $ é $ y + x \frac{dy}{dx} $ (usando a regra do produto).
  • A derivada de $ y^{2} $ é $ 2y \frac{dy}{dx} $.
  • A derivada de 1 é 0.
Então, a equação derívada fica:
dydx

Passo 3

Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $. Primeiro, vamos juntar os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
dydx
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $ do lado esquerdo:
dydx
Dividindo ambos os lados por $ (x + 2y) $ para resolver $ \frac{dy}{dx} $:
x dydx + 2y dydx = -2x - y

Passo 4

Queremos que a reta tangente seja horizontal. Isso significa que a inclinação da reta, dada por $ \frac{dy}{dx} $, deve ser igual a zero:
dydx
Então, configurando a derivada igual a zero:
dydx = 0
Para uma fração ser igual a zero, o numerador precisa ser zero (desde que o denominador não seja zero):
-2x - y x + 2y = 0
-2x - y = 0

Passo 5

Agora, vamos substituir $ y = -2x $ na equação original da curva para encontrar os valores de $ x $ correspondentes:
y = -2x
x
x^2 + x(-2x) + (-2x)^2 = 1
x^2 - 2x^2 + 4x^2 = 1
(1 - 2 + 4) x^2 = 1
3x^2 = 1
Agora, encontramos $ y $ usando $ y = -2x $:
  • Para $ x = \frac{1}{\sqrt{3}} $: x^2 = 13
    - Para $ x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $:
    x = pm 1raiz3

Resposta

Os pontos na curva $ x^{2} + x y + y^{2} = 1 $ com reta tangente horizontal são:
x^2 + x y + y^2 = 1

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