Questão 1. Considere a curva de equação
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( 10 pontos) Determine todos os pontos na curva que têm reta tangente horizontal.
( 10 pontos) Determine todos os pontos na curva que têm reta tangente horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a curva dada pela equação $ x^{2} + x y + y^{2} = 1 $. O que a gente precisa descobrir são todos os pontos nessa curva onde a reta tangente é horizontal. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a reta tangente, precisamos calcular a derivada $ \frac{dy}{dx} $ da equação da curva. Já que a equação está em termos de $ x $ e $ y $, vamos usar a diferenciação implícita. Isso significa diferenciar ambos os lados da equação em relação a $ x $.
Vamos diferenciar termo a termo:
- A derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $.
- A derivada de $ x y $ é $ y + x \frac{dy}{dx} $ (usando a regra do produto).
- A derivada de $ y^{2} $ é $ 2y \frac{dy}{dx} $.
- A derivada de 1 é 0.
Então, a equação derívada fica:
Passo 3
Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $. Primeiro, vamos juntar os termos que contêm $ \frac{dy}{dx} $:
Fatorando $ \frac{dy}{dx} $ do lado esquerdo:
Dividindo ambos os lados por $ (x + 2y) $ para resolver $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 4
Queremos que a reta tangente seja horizontal. Isso significa que a inclinação da reta, dada por $ \frac{dy}{dx} $, deve ser igual a zero:
Então, configurando a derivada igual a zero:
Para uma fração ser igual a zero, o numerador precisa ser zero (desde que o denominador não seja zero):
Passo 5
Agora, vamos substituir $ y = -2x $ na equação original da curva para encontrar os valores de $ x $ correspondentes:
Agora, encontramos $ y $ usando $ y = -2x $:
- Para $ x = \frac{1}{\sqrt{3}} $:
- Para $ x = -\frac{1}{\sqrt{3}} $:
Resposta
Os pontos na curva $ x^{2} + x y + y^{2} = 1 $ com reta tangente horizontal são: