Questão 9: Considere duas superfícies cilíndricas coaxiais, condutoras e longas, no vácuo. A superfície interna, de raio
é mantida ao potencial
. A externa, de raio
, ao potencial
. Usando a equação de Laplace, calcule o campo elétrico em um ponto a uma distância
do eixo das superfícies e a capacitância por unidade de comprimento
do fio.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede: temos duas cascas cilíndricas coaxiais e condutoras, de raios
(interna) e
(externa). A interna tá a potencial
, a externa vale
. Pedem o campo elétrico num ponto com
e a capacitância por unidade de comprimento
.
Conteúdo: eletrostática, equação de Laplace em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar da simetria cilíndrica, resolver o ODE , aplicar condições de contorno e depois usar
e a definição de capacitância.
Conteúdo: eletrostática, equação de Laplace em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar da simetria cilíndrica, resolver o ODE
Passo 2
Aplicando Laplace com simetria só em
:
Integração 1:
.
Integração 2: , onde
e
são constantes a determinar.
Integração 2:
Passo 3
Agora as condições de bordo:
e
.
Isso gera o sistema
Isso gera o sistema
Subtraindo, vem
Então a solução completa é
Passo 4
O campo elétrico é
. Como só varia com
:
Direção radial (saindo do cilindro interno se
).
Passo 5
Para achar a capacitância por unidade de comprimento
, primeiro liga a densidade linear de carga
ao potencial:
pela Lei de Gauss, . Mas como
, dá
pela Lei de Gauss,
Capacitância por unidade de comprimento é
, logo
Se quiser a capacitância de um pedaço de comprimento
, basta multiplicar: