Questão 9: Considere duas superfícies cilíndricas coaxiais, condutoras e longas, no vácuo. A superfície interna, de raio R1 é mantida ao potencial V1. A externa, de raio R2, ao potencial V2=0. Usando a equação de Laplace, calcule o campo elétrico em um ponto a uma distância R1 do eixo das superfícies e a capacitância por unidade de comprimento l do fio.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede: temos duas cascas cilíndricas coaxiais e condutoras, de raios (interna) e (externa). A interna tá a potencial , a externa vale . Pedem o campo elétrico num ponto com e a capacitância por unidade de comprimento .
Conteúdo: eletrostática, equação de Laplace em coordenadas cilíndricas. Vamos precisar da simetria cilíndrica, resolver o ODE , aplicar condições de contorno e depois usar e a definição de capacitância.

Passo 2

Aplicando Laplace com simetria só em nabla^2V ;=;1rddr!l(rdVdrr);=;0 :
Integração 1: .
Integração 2: , onde e são constantes a determinar.

Passo 3

Agora as condições de bordo:
V1 = Aln R1 + B, 0 = Aln R2 + B e A = V1ln R1 - ln R2 = V1ln!R1R2 = -,V1ln!R2R1, B = -Aln R2 .
Isso gera o sistema
V(r) = Aln r + B = V1ln!R1R2;ln!rR2 = V1ln(R2/R1);ln!R2r
Subtraindo, vem
Então a solução completa é

Passo 4

O campo elétrico é Er = -dVdr = -Ar = -1r,V1ln(R1/R2) = V1r,ln(R2/R1) . Como só varia com :
Direção radial (saindo do cilindro interno se ).

Passo 5

Para achar a capacitância por unidade de comprimento lambda = 2piepsilon0,A = 2piepsilon0;V1ln(R1/R2) = 2piepsilon0,V1-ln(R2/R1) = 2piepsilon0,V1ln(R2/R1) , primeiro liga a densidade linear de carga C' = 2piepsilon0ln(R2/R1) ao potencial:
pela Lei de Gauss, C = C',l = 2piepsilon0,lln(R2/R1) . Mas como , dá
Capacitância por unidade de comprimento é , logo
Se quiser a capacitância de um pedaço de comprimento , basta multiplicar:

Resposta

boxed vec E(r) = V1r,ln!l(R2/R1r),hat er, C' = 2piepsilon0ln!l(R2/R1r)

Exercícios relacionados