Questão 2. Considere a equação
\frac{d^{3} y}{d t^{3}}-\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+4 \frac{d y}{d t}-4 y(t)=g(t)
a) Resolva a equação homogênea.
b) Para Para g(t)=t\left(e^{t}+\sin 2 t\right)+5, proponha uma solução para a equação não homogênea para se usar o método dos coeficientes indeterminados. Justifique sua escolha. (NÃO CALCULE AS CONSTANTES).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{3} y}{d t^{3}}-\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+4 \frac{d y}{d t}-4 y(t)=g(t)
e faz duas perguntas:
  1. (a) Resolver a equação homogênea associada, isto é, encontrar a solução geral de
\frac{d^{3} y}{d t^{3}}-\frac{d^{2} y}{d t^{2}}+4 \frac{d y}{d t}-4 y(t)=0.
  1. (b) Para g(t)=t\left(e^{t}+\sin 2 t\right)+5, propor (sem calcular constantes) uma solução particular por coeficientes indeterminados, justificando a forma escolhida.
Informações relevantes fornecidas:
g(t)=t e^{t}+t\sin 2t+5.
A equação é linear, de coeficientes constantes, de ordem 3. A parte (b) pede apenas a proposta do ansatz (forma) da solução particular e a justificativa, não a determinação dos coeficientes.

Passo 2

Começamos a resolver a homogênea: para equações lineares com coeficientes constantes, tentamos uma solução da forma y(t)=e^{rt}, onde r é um número (possível complexo). Substituindo na equação homogênea obtemos o polinômio característico.
Substituição y=e^{rt} dá (cada derivada multiplica por r):
r^{3}e^{rt}-r^{2}e^{rt}+4r e^{rt}-4 e^{rt}=0.
Como e^{rt}\neq 0, dividimos por e^{rt} e obtemos o polinômio característico:
r^{3}-r^{2}+4r-4=0.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio característico. Agrupando termos:
r^{3}-r^{2}+4r-4 = r^{2}(r-1)+4(r-1)=(r-1)(r^{2}+4).
Então as raízes são as soluções de (r-1)(r^{2}+4)=0, isto é:
r=1,\qquad r^{2}=-4\Rightarrow r=\pm 2i.

Passo 4

Interpretação das raízes e construção da solução geral da homogênea:
  • A raiz real r=1 gera a solução exponencial \;e^{t}.
  • As raízes complexas conjugadas r=\pm 2i correspondem, pela fórmula de Euler, às soluções reais \cos 2t e \sin 2t (não há fator exponencial e^{\alpha t} porque a parte real \alpha=0 aqui).
Regra geral: se r=\alpha\pm i\beta é raiz simples, contribui com e^{\alpha t}(C\cos\beta t + D\sin\beta t).
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}\cos 2t + C_{3}\sin 2t,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora a parte (b): vamos construir um ansatz para a solução particular y_{p}(t) usando o método dos coeficientes indeterminados. Relembrando (didaticamente):
  • Para termos do tipo polinômio em t (grau n) usamos um polinômio de grau n com coeficientes indeterminados.
  • Para termos do tipo e^{\alpha t} multiplicados por um polinômio, usamos (\text{polinômio})e^{\alpha t}ô.
  • Para termos do tipo \sin(\beta t) ou \cos(\beta t) multiplicados por um polinômio, usamos (\text{polinômio})\cos\beta t + (\text{polinômio})\sin\beta tôô.
  • Se o termo for ressonante (isto é, se e^{\alpha t} ou \cos\beta t,\sin\beta t já aparecem na solução homogênea), multiplicamos o ansatz por t^{s}, onde s é a multiplicidade da raiz correspondente no polinômio característico.
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Se RHS contém e^{2t} e r=2 NÃO é raiz do característico, tentamos (A)e^{2t}.
  • Se RHS contém e^{t} e r=1 é raiz simples, ao tentar (A)e^{t} haveria conflito com a homogênea, então tentamos t(A)e^{t} (multiplicamos por t).
  • Para t\sin 2t (polinômio de grau 1 vezes \sin 2t) sem ressonância faríamos (a t + b)\cos 2t + (c t + d)\sin 2t; se houver ressonância com \pm 2i então multiplicamos tudo por t^{s}.

Passo 6

Identificamos os termos de g(t):
g(t)=\underbrace{t e^{t}}_{\text{ termo }1}+\underbrace{t\sin 2t}_{\text{ termo }2}+\underbrace{5}_{\text{ termo }3}.
Verificamos ressonâncias com as soluções homogêneas e^{t},\cos 2t,\sin 2t:
  • O termo e^{t} aparece na homogênea (raiz r=1 de multiplicidade 1) → ressonância de ordem s=1.
  • O termo \sin 2t / \cos 2t aparece na homogênea (raízes \pm 2i de multiplicidade 1) → ressonância de ordem s=1.
  • O termo constante 5 corresponde a e^{0t} (isto é r=0); como r=0 NÃO é raiz do característico (verificar r^{3}-r^{2}+4r-4 em r=0 -4\neq 0), não há ressonância para o termo constante.

Passo 7

Formulamos o ansatz para cada parte:
  • Para o termo constante 5: polinômio de grau 0 (constante). Como não há ressonância, tentamos
y_{p,3}(t)=A,
com A indeterminado.
  • Para o termo t e^{t}: o fator exponencial é e^{t} e a parte polinomial tem grau 1. Sem ressonância o ansatz seria (a t + b)e^{t}. Mas há ressonância ( r=1 raiz simples), então multiplicamos por t^{1}. Assim o ansatz vira
y_{p,1}(t)=\big(a t + b\big)t e^{t}=(a t^{2}+b t)e^{t},
com a,b indeterminados.
Explanação clara: começamos com o polinômio de grau 1 multiplicando e^{t}. Como e^{t} aparece na homogênea, cada coeficiente deve ser ajustado por um fator t; portanto t(a t + b)e^{t}.

Passo 8

  • Para o termo t\sin 2t: a parte trigonométrica tem frequência \beta=2. Para um polinômio de grau 1 multiplicando \sin 2t (e \cos 2t), sem ressonância o ansatz seria
\big(p t + q\big)\cos 2t + \big(r t + s\big)\sin 2t.
Mas como \pm 2i são raízes simples do característico (ressonância de ordem s=1), multiplicamos todo esse ansatz por t. Assim obtemos
y_{p,2}(t)=t\Big(\big(p t + q\big)\cos 2t + \big(r t + s\big)\sin 2t\Big) =(p t^{2}+q t)\cos 2t + (r t^{2}+s t)\sin 2t,
com p,q,r,s indeterminados.

Passo 9

Agora juntamos todas as partes em um único ansatz para a solução particular y_{p}. Tomando constantes distintas para todos os coeficientes e agrupando:
y_{p}(t)=A + (B t^{2}+C t)e^{t} + (D t^{2}+E t)\cos 2t + (F t^{2}+G t)\sin 2t,
onde A,B,C,D,E,F,G são constantes indeterminadas que seriam determinadas substituindo y_{p} na equação e igualando os coeficientes. Não precisamos calcular essas constantes aqui, apenas justificamos a forma.
Observações finais sobre a escolha:
  • Os termos em t^{2} apareceram porque multiplicamos por t o polinômio de grau 1 (resultando em grau 2) devido à ressonância.
  • O termo constante A não foi multiplicado por t porque r=0 não é raiz do característico.
  • A forma escolhida garante que cada função de base do lado direito (e e^{t}, \cos 2t, \sin 2t e polinômios) está contemplada e que não existe conflito com a solução homogênea (pois aplicamos o fator t sempre que havia ressonância).

Resposta

(a) y_{h}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}\cos 2t + C_{3}\sin 2t.
(b) Uma proposta válida por coeficientes indeterminados é
y_{p}(t)=A + (B t^{2}+C t)e^{t} + (D t^{2}+E t)\cos 2t + (F t^{2}+G t)\sin 2t,
com A,B,C,D,E,F,G constantes a determinar (não calculadas aqui).

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