Questão 1. Reduza a equação diferencial abaixo num sistema de equações diferenciais de primeira ordem
2 \frac{d^{3} y}{d t^{3}}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-6 \frac{d y}{d t}-y(t)=0

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a equação diferencial
2\frac{d^{3}y}{dt^{3}}+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-6\frac{dy}{dt}-y(t)=0
a um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Informações dadas: a equação é homogênea, linear, de ordem três, com coeficientes constantes. Não há condições iniciais fornecidas — só queremos a forma do sistema de primeira ordem equivalente.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): para transformar uma equação diferencial de ordem n numa equação de primeira ordem, introduzimos n variáveis de estado que representam y e suas primeiras (n-1) derivadas. Assim cada variável terá uma equação diferencial de primeira ordem que liga a derivada dessa variável às outras variáveis. Vou aplicar isso aqui passo a passo; isso é algo que você pode fazer na prova sem calculadora e de cor.

Passo 3

Definimos as variáveis de estado (a escolha é a mais direta e comum):
x_1(t)=y(t),\qquad x_2(t)=\frac{dy}{dt}(t),\qquad x_3(t)=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}(t).
Explicando: x_1 guarda o valor da função, x_2 guarda sua primeira derivada e x_3 guarda sua segunda derivada. Queremos escrever equações para x_1'(t),x_2'(t),x_3'(t).

Passo 4

Calculemos as derivadas das variáveis introduzidas, usando a definição delas:
x_1'(t)=\frac{d}{dt}x_1(t)=\frac{d}{dt}y(t)=\frac{dy}{dt}(t)=x_2(t).
x_2'(t)=\frac{d}{dt}x_2(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right)=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}(t)=x_3(t).
Esses dois passos mostram as duas primeiras equações do sistema: x_1' = x_2 e x_2' = x_3. Falta a equação para x_3', que é precisamente y^{(3)}(t).

Passo 5

Vamos obter y^{(3)}(t) isolando-o na equação dada. Partimos de
2\frac{d^{3}y}{dt^{3}}+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}-6\frac{dy}{dt}-y(t)=0.
Isolando \dfrac{d^{3}y}{dt^{3}}:
2\frac{d^{3}y}{dt^{3}} = -\frac{d^{2}y}{dt^{2}} +6\frac{dy}{dt} + y(t).
Dividindo por 2:
\frac{d^{3}y}{dt^{3}} = -\frac{1}{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}} +3\frac{dy}{dt} +\frac{1}{2}y(t).
Aqui eu apenas reagruptei os termos e dividi por 2 — operação algébrica simples e permitida porque 2\neq0.

Passo 6

Agora substituímos as definições das x_i na expressão para y^{(3)}. Lembrando que x_1=y, x_2=y', x_3=y'', obtemos
x_3'(t)=\frac{d^{3}y}{dt^{3}}(t) = -\frac{1}{2}x_3(t) + 3x_2(t) + \frac{1}{2}x_1(t).
Portanto temos as três equações de primeira ordem completas:
x_1'(t)=x_2(t),
x_2'(t)=x_3(t),
x_3'(t)=-\frac{1}{2}x_3(t)+3x_2(t)+\frac{1}{2}x_1(t).

Passo 7

Forma matricial (útil para visualização e para métodos numéricos): escrevendo \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^{T}, o sistema pode ser escrito como \mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t) com
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] \frac{1}{2} & 3 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.
Explicando rapidamente: cada linha da matriz dá a combinação linear das variáveis x_1,x_2,x_3 que aparece na derivada correspondente. Na prova, normalmente basta apresentar o sistema nas formas que já demos.]

Passo 8

Pequeno exercício pra fixar (exemplo concreto): se você tivesse \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}+y=0, definir x_1=y,\;x_2=y' levaria a
x_1'=x_2,\qquad x_2'=-x_1,
que é o mesmo procedimento em ordem menor. Se ficou alguma dúvida, repete esse padrão: crie variáveis para y,y',\dots, escreva suas derivadas e use a equação original para obter a última equação do sistema.

Resposta

Seja \;x_1(t)=y(t),\;x_2(t)=y'(t),\;x_3(t)=y''(t).\n
x_1'(t)=x_2(t)\n
x_2'(t)=x_3(t)\n
x_3'(t)=-\frac{1}{2}x_3(t)+3x_2(t)+\frac{1}{2}x_1(t)

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