a um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Informações dadas: a equação é homogênea, linear, de ordem três, com coeficientes constantes. Não há condições iniciais fornecidas — só queremos a forma do sistema de primeira ordem equivalente.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): para transformar uma equação diferencial de ordem n numa equação de primeira ordem, introduzimos n variáveis de estado que representam y e suas primeiras (n-1) derivadas. Assim cada variável terá uma equação diferencial de primeira ordem que liga a derivada dessa variável às outras variáveis. Vou aplicar isso aqui passo a passo; isso é algo que você pode fazer na prova sem calculadora e de cor.
Passo 3
Definimos as variáveis de estado (a escolha é a mais direta e comum):
Explicando: x_1 guarda o valor da função, x_2 guarda sua primeira derivada e x_3 guarda sua segunda derivada. Queremos escrever equações para x_1'(t),x_2'(t),x_3'(t).
Passo 4
Calculemos as derivadas das variáveis introduzidas, usando a definição delas:
Forma matricial (útil para visualização e para métodos numéricos): escrevendo \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^{T}, o sistema pode ser escrito como \mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t) com
Explicando rapidamente: cada linha da matriz dá a combinação linear das variáveis x_1,x_2,x_3 que aparece na derivada correspondente. Na prova, normalmente basta apresentar o sistema nas formas que já demos.]
Passo 8
Pequeno exercício pra fixar (exemplo concreto): se você tivesse \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}+y=0, definir x_1=y,\;x_2=y' levaria a
x_1'=x_2,\qquad x_2'=-x_1,
que é o mesmo procedimento em ordem menor. Se ficou alguma dúvida, repete esse padrão: crie variáveis para y,y',\dots, escreva suas derivadas e use a equação original para obter a última equação do sistema.
Resposta
Seja \;x_1(t)=y(t),\;x_2(t)=y'(t),\;x_3(t)=y''(t).\n