Calcule
Usando 5 trapézios.
Passo 1
O enunciado pede que eu aproxime a integral
usando 5 trapézios (ou seja, a regra do trapézio composta com
). Informações relevantes dadas pelo enunciado: os limites de integração são
e
, e a função a integrar é
. Observação importante: em
a expressão tem a forma
, mas existe o limite
; portanto adotamos
.
Passo 2
Vou explicar a regra do trapézio composta (a “aula” curta que você pediu). Dividimos o intervalo
em
subintervalos iguais de comprimento
Aqui
,
e
, então
Se os nós são
e
, a fórmula composta do trapézio é
Essa fórmula vem de somar as áreas dos trapézios em cada subintervalo; cada trapézio tem área
e ao somar todos os termos internos as metades se combinam na forma acima.
Passo 3
Calculo os nós
:
Passo 4
Agora avalio
em cada nó. Lembre que
. Para os outros pontos usamos valores numéricos de
(em radianos) e dividimos por
. Para manter a explicação prática: eu apresento os valores de
aproximados e depois faço a divisão; se você estivesse na prova sem calculadora pode usar série de Taylor para
(por exemplo
para pequenos
) para obter aproximações semelhantes. Aqui, os valores (aproximados) são:
Também já temos
. Para ficar organizado, resumo os
:
Passo 5
Aplico a fórmula do trapézio composta. Primeiro calculo a média das extremidades:
Agora somo os valores internos
:
Faço a soma passo a passo:
Então a soma total dentro do parêntese da fórmula é
Multiplico por
:
Passo 6
Interpretação rápida: o resultado é uma aproximação da integral. A integral exata (função integral Sine) dá cerca de
, então o erro aqui é da ordem de
, ou seja, a aproximação com 5 trapézios já é boa. Mas na prova o que pediam foi aplicar a regra e obter o valor aproximado acima, o que fizemos passo a passo.