Calcule
\int_{0}^{1} \frac{\sin (x)}{x} d x
Usando 5 trapézios.

Passo 1

O enunciado pede que eu aproxime a integral
\int_{0}^{1} \frac{\sin(x)}{x}\,dx
usando 5 trapézios (ou seja, a regra do trapézio composta com n=5). Informações relevantes dadas pelo enunciado: os limites de integração são 0 e 1, e a função a integrar é f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}. Observação importante: em x=0 a expressão tem a forma \dfrac{0}{0}, mas existe o limite \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1; portanto adotamos f(0)=1.

Passo 2

Vou explicar a regra do trapézio composta (a “aula” curta que você pediu). Dividimos o intervalo [0,1] em n subintervalos iguais de comprimento
h=\frac{b-a}{n}.
Aqui a=0, b=1 e n=5, então
h=\frac{1-0}{5}=0,2.
Se os nós são x_0=a, x_1=a+h, \dots, x_n=b e f_i=f(x_i), a fórmula composta do trapézio é
T_n = h\left(\frac{f_0+f_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f_i\right).
Essa fórmula vem de somar as áreas dos trapézios em cada subintervalo; cada trapézio tem área \dfrac{h}{2}(f_{i-1}+f_i) e ao somar todos os termos internos as metades se combinam na forma acima.

Passo 3

Calculo os nós x_i:
x_0=0,\; x_1=0,2,\; x_2=0,4,\; x_3=0,6,\; x_4=0,8,\; x_5=1.

Passo 4

Agora avalio f(x)=\dfrac{\sin x}{x} em cada nó. Lembre que f(0)=\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1. Para os outros pontos usamos valores numéricos de \sin x (em radianos) e dividimos por x. Para manter a explicação prática: eu apresento os valores de \sin x aproximados e depois faço a divisão; se você estivesse na prova sem calculadora pode usar série de Taylor para \sin x (por exemplo \sin x \approx x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120} para pequenos x) para obter aproximações semelhantes. Aqui, os valores (aproximados) são:
\sin(0,2)\approx 0,19866933,\quad \Rightarrow\quad f(0,2)=\frac{\sin(0,2)}{0,2}\approx 0,99334665.
\sin(0,4)\approx 0,38941834,\quad \Rightarrow\quad f(0,4)=\frac{\sin(0,4)}{0,4}\approx 0,973546 \,(\text{aprox. }0,97354585).
\sin(0,6)\approx 0,56498526,\quad \Rightarrow\quad f(0,6)=\frac{\sin(0,6)}{0,6}\approx 0,94164210.
\sin(0,8)\approx 0,71735609,\quad \Rightarrow\quad f(0,8)=\frac{\sin(0,8)}{0,8}\approx 0,89669512.
\sin(1)\approx 0,84147098,\quad \Rightarrow\quad f(1)=\frac{\sin(1)}{1}\approx 0,84147098.
Também já temos f(0)=1. Para ficar organizado, resumo os f_i:
f_0=f(0)=1, \; f_1\approx 0,99334665, \; f_2\approx 0,97354585, \; f_3\approx 0,94164210, \; f_4\approx 0,89669512, \; f_5\approx 0,84147098.

Passo 5

Aplico a fórmula do trapézio composta. Primeiro calculo a média das extremidades:
\frac{f_0+f_5}{2}=\frac{1+0,84147098}{2}=0,92073549\\ (\text{aprox.}).
Agora somo os valores internos f_1+f_2+f_3+f_4:
f_1+f_2+f_3+f_4 \approx 0,99334665+0,97354585+0,94164210+0,89669512.
Faço a soma passo a passo:
0,99334665+0,97354585=1,96689250,
1,96689250+0,94164210=2,90853460,
2,90853460+0,89669512=3,80522972.
Então a soma total dentro do parêntese da fórmula é
0,92073549 + 3,80522972 = 4,72596521\\ (\text{aprox.}).
Multiplico por h=0,2:
T_5 = 0,2 \times 4,72596521 \approx 0,945193042.

Passo 6

Interpretação rápida: o resultado é uma aproximação da integral. A integral exata (função integral Sine) dá cerca de 0,94608, então o erro aqui é da ordem de 10^{-3}, ou seja, a aproximação com 5 trapézios já é boa. Mas na prova o que pediam foi aplicar a regra e obter o valor aproximado acima, o que fizemos passo a passo.

Resposta

0,945193042

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