Questão 5 Considere a equação
.
(valor: até 8 pontos)
a) Verifique se a equação é Homogênea.
b) Resolva a equação diferencial acima pelo método de equações homogêneas.
(valor: até 8 pontos)
a) Verifique se a equação é Homogênea.
b) Resolva a equação diferencial acima pelo método de equações homogêneas.
Passo 1
Enunciado e dados: a equação diferencial dada é
.
Perguntas:
Perguntas:
- Verificar se a equação é homogênea.
- Resolver a equação pelo método de equações homogêneas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: as expressões que multiplicame são e . Não há figura nem outra tabela; tudo o que precisamos está no enunciado.
Passo 2
O que significa “ser homogênea” (aula curta): uma função de duas variáveis
é homogênea de grau
se, para todo
, vale
. Para a equação
ser homogênea é preciso que
e
sejam homogêneas do mesmo grau
. Vamos testar com
e
dados. Calculemos
e
:
Passo 3
Cálculo da homogeneidade (passo a passo):
Conclusão: tanto
quanto
se transformam como
vezes a função original, logo são homogêneas de grau
. Portanto a equação é homogênea (resposta da parte a): "Sim, é homogênea de grau
".
Passo 4
Estratégia para resolver (aula curta do método): para uma equação homogênea de grau
é habitual usar a substituição
(onde
depende de
). Isso transforma a razão
em uma nova variável
e costuma levar a uma equação separável para
. Antes, vamos escrever a equação na forma
para aplicar a substituição com clareza. Da equação dada:
dividindo por
e isolando
obtemos
Passo 5
Aplicando a substituição
: primeiro compute
em termos de
e
. Usando regra do produto,
Substitua
e
na equação
:
Isolando
:
Passo 6
Separação de variáveis e integração (passo a passo): escrevemos a equação como
Agora integramos ambos os lados. À esquerda, façamos a integral explícita: se
, use substituição linear ou reconheça que a primitiva é
. Portanto
À direita,
Igualando (absorvendo constantes em uma só):
Multiplicando por
:
onde
. Exponenciando:
Como
pode ser tomado com sinal, escrevemos de forma mais simples
com
constante arbitrária (real).
Passo 7
Voltar para
e obter solução explícita: lembrando que
, substitua:
Multiplicando por
:
Isolando
:
Podemos renomear a constante
como
se preferir, ficando
. Observação rápida: a solução particular
corresponde a
e está contida na família acima.
Resposta
a) Sim, é homogênea de grau
.
b) Solução geral: , onde
é constante arbitrária.
b) Solução geral: