Questão 5 Considere a equação \left(x^{2}+3 x y\right) d x-x^{2} d y=0.
(valor: até 8 pontos)
a) Verifique se a equação é Homogênea.
b) Resolva a equação diferencial acima pelo método de equações homogêneas.

Passo 1

Enunciado e dados: a equação diferencial dada é \left(x^{2}+3 x y\right)\,d x - x^{2}\,d y = 0.
Perguntas:
  1. Verificar se a equação é homogênea.
  2. Resolver a equação pelo método de equações homogêneas.
    Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: as expressões que multiplicam d x e d y são \,M(x,y)=x^{2}+3xy\, e \,N(x,y)=-x^{2}\,. Não há figura nem outra tabela; tudo o que precisamos está no enunciado.

Passo 2

O que significa “ser homogênea” (aula curta): uma função de duas variáveis M(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t, vale \;M(t x,t y)=t^{k}M(x,y)\;. Para a equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 ser homogênea é preciso que M e N sejam homogêneas do mesmo grau k. Vamos testar com M e N dados. Calculemos M(t x,t y) e N(t x,t y):

Passo 3

Cálculo da homogeneidade (passo a passo):
M(t x,t y)=(t x)^{2}+3\,(t x)(t y)=t^{2}x^{2}+3t^{2}xy=t^{2}(x^{2}+3xy)=t^{2}M(x,y).
N(t x,t y)=- (t x)^{2}=-t^{2}x^{2}=t^{2}(-x^{2})=t^{2}N(x,y).
Conclusão: tanto M quanto N se transformam como t^{2} vezes a função original, logo são homogêneas de grau 2. Portanto a equação é homogênea (resposta da parte a): "Sim, é homogênea de grau 2".

Passo 4

Estratégia para resolver (aula curta do método): para uma equação homogênea de grau k é habitual usar a substituição \;y=vx\; (onde v depende de x). Isso transforma a razão y/x em uma nova variável v e costuma levar a uma equação separável para v(x). Antes, vamos escrever a equação na forma \dfrac{dy}{dx}=\ldots para aplicar a substituição com clareza. Da equação dada:
\left(x^{2}+3xy\right)\,dx - x^{2}\,dy = 0
dividindo por dx e isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos
-x^{2}\frac{dy}{dx} = -\left(x^{2}+3xy\right)\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}+3xy}{x^{2}}=1+3\frac{y}{x}.

Passo 5

Aplicando a substituição \;y=vx\;: primeiro compute dy/dx em termos de v e dv/dx. Usando regra do produto,
\frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Substitua y=vx e \dfrac{dy}{dx} na equação \dfrac{dy}{dx}=1+3\frac{y}{x}:
v + x\frac{dv}{dx} = 1 + 3v.
Isolando \dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} = 1 + 3v - v = 1 + 2v,
\frac{dv}{dx} = \frac{1+2v}{x}.

Passo 6

Separação de variáveis e integração (passo a passo): escrevemos a equação como
\frac{dv}{1+2v} = \frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados. À esquerda, façamos a integral explícita: se I=\int \dfrac{dv}{1+2v}, use substituição linear ou reconheça que a primitiva é \frac{1}{2}\ln|1+2v|. Portanto
\int \frac{dv}{1+2v} = \frac{1}{2}\ln|1+2v| + C_{1}.
À direita,
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_{2}.
Igualando (absorvendo constantes em uma só):
\frac{1}{2}\ln|1+2v| = \ln|x| + C.
Multiplicando por 2:
\ln|1+2v| = 2\ln|x| + 2C = \ln|x|^{2} + C',
onde C' = 2C. Exponenciando:
|1+2v| = C' x^{2}.
Como C' pode ser tomado com sinal, escrevemos de forma mais simples
1+2v = C x^{2},
com C constante arbitrária (real).

Passo 7

Voltar para (x,y) e obter solução explícita: lembrando que v=\dfrac{y}{x}, substitua:
1 + 2\frac{y}{x} = C x^{2}.
Multiplicando por x:
x + 2y = C x^{3}.
Isolando y:
2y = C x^{3} - x \quad\Rightarrow\quad y = \frac{C}{2}x^{3} - \frac{1}{2}x.
Podemos renomear a constante \dfrac{C}{2} como A se preferir, ficando y = A x^{3} - \dfrac{1}{2}x. Observação rápida: a solução particular y=-\dfrac{1}{2}x corresponde a C=0 e está contida na família acima.

Resposta

a) Sim, é homogênea de grau 2.
b) Solução geral: y=\dfrac{C}{2}x^{3}-\dfrac{1}{2}x, onde C é constante arbitrária.

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