Questão 3 Encontre a solução do problema de valor inicial.
(7 pontos)
\left\{\begin{aligned} x y^{\prime}-4 y & =x^{6} e^{x} \\\ y(1) & =2 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a solução y(x)\) que satisfaz essa equação e a condição inicial: \[\begin{cases} x\,y' - 4y = x^{6} e^{x},\\[4pt] y(1) = 2. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação diferencial envolve x\] no coeficiente de \(y', portanto não podemos dividir por x se x=0. Como a condição inicial está em x=1, vamos trabalhar numa vizinhança de x=1 (isto é, x>0 funciona).
  • A incógnita é a função y(x). Precisamos encontrar uma expressão para y(x) que satisfaça a equação diferencial para x no domínio apropriado e que cumpra y(1)=2.]

Passo 2

Colocando a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: dividir por x (válido porque consideramos x\neq0):
y' - \frac{4}{x}y = x^{5} e^{x}.
Aqui escrevemos a equação no formato
y' + p(x)\,y = q(x),
onde, no nosso caso, p(x)=-\dfrac{4}{x} e q(x)=x^{5}e^{x}.
Explicação didática do método (integrating factor): para resolver y' + p(x)y = q(x) usamos um fator integrante \mu(x) tal que \mu(x)[y' + p(x)y] seja a derivada de \mu(x)y. Esse fator é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Vamos calcular \mu(x) para o nosso p(x).

Passo 3

Calcular o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int -\frac{4}{x}\,dx}.
Ao integrar, lembrando que \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|, obtemos
\int -\frac{4}{x}\,dx = -4\ln|x| = \ln|x|^{-4}.
Portanto
\mu(x)=e^{\ln|x|^{-4}}=|x|^{-4}.
Como estamos trabalhando com x próximo de 1 (positivo), podemos tomar \mu(x)=x^{-4}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=x^{-4} temos
x^{-4}y' - \frac{4}{x}x^{-4}y = x^{-4}\cdot x^{5} e^{x}.
Simplificando o lado direito:
x^{-4}y' - 4x^{-5}y = x e^{x}.

Passo 4

Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto \mu(x)y. De fato, usando a regra do produto:
\bigl(x^{-4}y\bigr)' = x^{-4}y' + (x^{-4})'y = x^{-4}y' -4x^{-5}y.
Assim a equação multiplicada pelo fator integrante pode ser escrita como
\bigl(x^{-4}y\bigr)' = x e^{x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
x^{-4}y = \int x e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Calcular a integral \int x e^{x}\,dx. Vamos usar integração por partes. Regra da integração por partes: se escolhemos u e dv com du e v correspondentes, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolha conveniente: u=x (então du=dx) e dv=e^{x}dx (então v=e^{x}). Aplicando:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = (x-1)e^{x} + C.
Voltando à solução geral:
x^{-4}y = (x-1)e^{x} + C.

Passo 6

Isolar y multiplicando por x^{4}:
y(x) = x^{4}\bigl((x-1)e^{x} + C\bigr) = x^{4}(x-1)e^{x} + C x^{4}.
Agora usamos a condição inicial y(1)=2 para determinar C. Avaliando em x=1:
y(1) = 1^{4}(1-1)e^{1} + C\cdot 1^{4} = 0 + C = C.
Como y(1)=2, segue C=2.

Passo 7

Substituindo C=2 na expressão geral obtemos a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial:
y(x) = x^{4}(x-1)e^{x} + 2x^{4}.
Observações finais curtas: esta função é bem definida para x>0 (o domínio natural vindo do fator integrante usado). Você pode conferir que ela satisfaz a equação original substituindo na equação x y' - 4y e verificando que o resultado é x^{6}e^{x} — isso serve como checagem.

Resposta

y(x)=x^{4}(x-1)e^{x}+2x^{4}

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