Questão 3 Encontre a solução do problema de valor inicial.
(7 pontos)
(7 pontos)
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial abaixo e pede a solução
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação diferencial envolve
, portanto não podemos dividir por
se . Como a condição inicial está em , vamos trabalhar numa vizinhança de (isto é, funciona). - A incógnita é a função
. Precisamos encontrar uma expressão para que satisfaça a equação diferencial para no domínio apropriado e que cumpra .]
Passo 2
Colocando a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: dividir por
(válido porque consideramos
):
Aqui escrevemos a equação no formato
onde, no nosso caso,
e
.
Explicação didática do método (integrating factor): para resolver
usamos um fator integrante
tal que
seja a derivada de
. Esse fator é
Vamos calcular
para o nosso
.
Passo 3
Calcular o fator integrante:
Ao integrar, lembrando que
, obtemos
Portanto
Como estamos trabalhando com
próximo de
(positivo), podemos tomar
.
Multiplicando a equação padrão por
temos
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto
. De fato, usando a regra do produto:
Assim a equação multiplicada pelo fator integrante pode ser escrita como
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Calcular a integral
. Vamos usar integração por partes. Regra da integração por partes: se escolhemos
e
com
e
correspondentes, então
Escolha conveniente:
(então
) e
(então
). Aplicando:
Voltando à solução geral:
Passo 6
Isolar
multiplicando por
:
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Avaliando em
:
Como
, segue
.
Passo 7
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial:
Observações finais curtas: esta função é bem definida para
(o domínio natural vindo do fator integrante usado). Você pode conferir que ela satisfaz a equação original substituindo na equação
e verificando que o resultado é
— isso serve como checagem.