Questão 4 Considere a equação
.
a) Verifique se a equação é exata.
b) Caso não seja exata, encontre o fator de integração.
c) Resolva a equação diferencial acima pelo método de equações exatas.
a) Verifique se a equação é exata.
b) Caso não seja exata, encontre o fator de integração.
c) Resolva a equação diferencial acima pelo método de equações exatas.
Passo 1
Enunciado e o que se pede.
Temos a equação diferencial
O enunciado pede:
- Verificar se a equação é exata.
- Se não for exata, encontrar um fator integrante.
- Resolver a equação pelo método de equações exatas (achar a solução geral).
As informações dadas são exatamente a forma diferencial acima; não há condições iniciais nem restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Identificar
e
e testar exatidão.
Para uma forma diferencial
a condição de exatidão é
Aqui identificamos
Calculemos as derivadas parciais:
Como
em geral, concluímos que a forma não é exata.
Passo 3
Método para achar um fator integrante que depende só de
— explicação didática.
Quando a equação não é exata, uma estratégia comum é procurar um fator integrante
que torne a forma exata. Se suspeitamos que exista um
que depende apenas de
(ou apenas de
), usamos um teste simples.
Suponha
. Queremos que
Desenvolvendo e lembrando que
,
Rearranjando e dividindo por
(onde isso for válido) obtemos
O lado esquerdo depende apenas de
; portanto, para que exista
é necessário que o lado direito seja função somente de
. Se for, então
e assim
Isto é a fórmula prática que usamos no exame.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao nosso
e
.
Já calculamos
e
. Então
Observe que o resultado é função só de
, exatamente o caso esperado. Portanto um fator integrante que depende só de
existe e é
Para simplificar a escrita (e porque multiplicar por uma constante de sinal apenas muda o sinal da constante de integração final), escolhemos
(isto é comum quando trabalhamos em uma região onde
; se for necessário cobrir
use
).
Passo 5
Multiplicar a equação pelo fator integrante e verificar exatidão.
Multiplicando a equação original por
obtemos a nova forma
ou seja
Chamando
e
, calculemos as parciais:
Como
, a forma multiplicada por
é exata. Beleza — agora podemos integrar.
Passo 6
Encontrar a função potencial
cuja diferencial é a forma exata e obter a solução geral.
Para uma forma exata existe
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(apareceu porque diferenciamos apenas em relação a
).
Agora impomos que
seja igual a
. Calculemos
da expressão encontrada:
Comparando com
obtemos
, logo
é constante:
.
Portanto a função potencial é
A solução geral (implícita) da equação diferencial é dada por
onde
é uma constante arbitrária. Podemos também escrever
Resposta
a) A equação não é exata, pois
.
b) Um fator integrante é (mais rigorosamente
).
c) Solução geral (implícita): .
b) Um fator integrante é
c) Solução geral (implícita):