Questão 4 Considere a equação \left(2 y^{2}+3 x\right) d x+2 x y d y=0.
a) Verifique se a equação é exata.
b) Caso não seja exata, encontre o fator de integração.
c) Resolva a equação diferencial acima pelo método de equações exatas.

Passo 1

Enunciado e o que se pede.
Temos a equação diferencial
\left(2 y^{2}+3 x\right) dx + 2 x y\, dy = 0.
O enunciado pede:
  1. Verificar se a equação é exata.
  2. Se não for exata, encontrar um fator integrante.
  3. Resolver a equação pelo método de equações exatas (achar a solução geral).
As informações dadas são exatamente a forma diferencial acima; não há condições iniciais nem restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Identificar M(x,y) e N(x,y) e testar exatidão.
Para uma forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 a condição de exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Aqui identificamos
M(x,y)=2y^{2}+3x,\qquad N(x,y)=2xy.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2y^{2}+3x\right)=4y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2xy\right)=2y.
Como \,4y\neq 2y em geral, concluímos que a forma não é exata.

Passo 3

Método para achar um fator integrante que depende só de x — explicação didática.
Quando a equação não é exata, uma estratégia comum é procurar um fator integrante \mu que torne a forma exata. Se suspeitamos que exista um \mu que depende apenas de x (ou apenas de y), usamos um teste simples.
Suponha \mu=\mu(x). Queremos que
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu(x)M(x,y)\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu(x)N(x,y)\big).
Desenvolvendo e lembrando que \mu'=\dfrac{d\mu}{dx},
\mu(x)\frac{\partial M}{\partial y}=\mu'(x)N(x,y)+\mu(x)\frac{\partial N}{\partial x}.
Rearranjando e dividindo por \mu(x)N(x,y) (onde isso for válido) obtemos
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N(x,y)}.
O lado esquerdo depende apenas de x; portanto, para que exista \mu(x) é necessário que o lado direito seja função somente de x. Se for, então
\ln \mu(x)=\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N(x,y)}\,dx,
e assim
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N(x,y)}\,dx\right).
Isto é a fórmula prática que usamos no exame.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso M e N.
Já calculamos \dfrac{\partial M}{\partial y}=4y e \dfrac{\partial N}{\partial x}=2y. Então
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N(x,y)} =\frac{4y-2y}{2xy}=\frac{2y}{2xy}=\frac{1}{x}.
Observe que o resultado é função só de x, exatamente o caso esperado. Portanto um fator integrante que depende só de x existe e é
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Para simplificar a escrita (e porque multiplicar por uma constante de sinal apenas muda o sinal da constante de integração final), escolhemos \mu(x)=x (isto é comum quando trabalhamos em uma região onde x>0; se for necessário cobrir x<0 use \mu(x)=|x|).

Passo 5

Multiplicar a equação pelo fator integrante e verificar exatidão.
Multiplicando a equação original por \mu(x)=x obtemos a nova forma
x(2y^{2}+3x)\,dx + x(2xy)\,dy = 0,
ou seja
\big(2x y^{2}+3x^{2}\big)\,dx + \big(2x^{2}y\big)\,dy = 0.
Chamando \widetilde M(x,y)=2x y^{2}+3x^{2} e \widetilde N(x,y)=2x^{2}y, calculemos as parciais:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=4xy, \qquad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=4xy.
Como \dfrac{\partial \widetilde M}{\partial y}=\dfrac{\partial \widetilde N}{\partial x}, a forma multiplicada por \mu é exata. Beleza — agora podemos integrar.

Passo 6

Encontrar a função potencial \Phi(x,y) cuja diferencial é a forma exata e obter a solução geral.
Para uma forma exata existe \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde M(x,y)=2x y^{2}+3x^{2}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde N(x,y)=2x^{2}y.
Integramos \dfrac{\partial \Phi}{\partial x} em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\big(2x y^{2}+3x^{2}\big)\,dx = x^{2}y^{2}+x^{3}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (apareceu porque diferenciamos apenas em relação a x).
Agora impomos que \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} seja igual a \widetilde N. Calculemos \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=2x^{2}y + h'(y).
Comparando com \widetilde N(x,y)=2x^{2}y obtemos h'(y)=0, logo h(y) é constante: h(y)=C.
Portanto a função potencial é
\Phi(x,y)=x^{2}y^{2}+x^{3}+C.
A solução geral (implícita) da equação diferencial é dada por
x^{2}y^{2}+x^{3}=C',
onde C'=-C é uma constante arbitrária. Podemos também escrever
x^{2}\big(y^{2}+x\big)=C'.

Resposta

a) A equação não é exata, pois \dfrac{\partial M}{\partial y}=4y\neq 2y=\dfrac{\partial N}{\partial x}.
b) Um fator integrante é \mu(x)=x (mais rigorosamente \mu(x)=|x|).
c) Solução geral (implícita): x^{2}y^{2}+x^{3}=C.

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