Questão 3. Considere a equação
t(t^2-4) y^prime+t^2 e^t y=t sin (t) ; y=y(t)
a) Classifique a equação quanto a ordem e a linearidade.
b) Dada a condição inicial y(1)=3, avalie o teorema de existência e unicidade de soluções. (Não resolva a equação)

Passo 1

E aí, vamos dar uma olhada: o exercício nos dá a equação
tl(t^2-4r),y'(t) ;+; t^2e^t,y(t) ;=; tsin(t),
com condição inicial y(1)=3.
Conteúdo: teoria de EDOs de 1ª ordem, ver se é linear, e aplicar o teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf).
O que precisamos:
  1. Saber o que é ordem de uma EDO e quando ela é linear.
  2. Lembrar as hipóteses do teorema de existência & unicidade: coeficientes contínuos num intervalo contendo o ponto inicial, e o termo em y também.

Passo 2

Classificação da equação:
  1. Ordem: aparece só y' (nenhuma derivada de ordem maior), então é de 1ª ordem.
  2. Linearidade: uma EDO de 1ª ordem é linear se pode ficar na forma
y'(t) + P(t),y(t) = Q(t)
Aqui dividimos tudo por t(t^2-4) (desde que tneq0,pm2) e obtemos
y'(t) + t^2e^tt(t^2-4),y(t) ;=; tsin tt(t^2-4)
Ou seja
y'(t) + P(t),y(t) = Q(t), com P(t)=t e^tt^2-4, Q(t)=sin tt^2-4
Logo: é uma EDO de 1ª ordem e linear.

Passo 3

Teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf) diz: se P(t) e Q(t) são contínuas num intervalo que contenha t0=1, então existe uma única solução passando por y(1)=3.
Aqui P(t)=t e^tt^2-4 e Q(t)=sin tt^2-4 são funções contínuas em qualquer intervalo que não inclua as singularidades t=0,pm2.
Como nosso ponto inicial é t=1, podemos escolher, por exemplo, um intervalo como (0,2). Nesse intervalo P e Q são contínuas, logo o teorema garante existência e unicidade de solução para y(1)=3.

Resposta

a) É uma equação diferencial de 1ª ordem e linear.
b) Como os coeficientes P(t) e Q(t) são contínuos em um intervalo que contém t=1 (por exemplo (0,2)), pelo teorema de existência e unicidade existe uma única solução com y(1)=3.

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