Questão 3. Considere a equação
a) Classifique a equação quanto a ordem e a linearidade.
b) Dada a condição inicial
, avalie o teorema de existência e unicidade de soluções. (Não resolva a equação)
b) Dada a condição inicial
Passo 1
E aí, vamos dar uma olhada: o exercício nos dá a equação
com condição inicial
.
Conteúdo: teoria de EDOs de 1ª ordem, ver se é linear, e aplicar o teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf).
O que precisamos:
Conteúdo: teoria de EDOs de 1ª ordem, ver se é linear, e aplicar o teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf).
O que precisamos:
- Saber o que é ordem de uma EDO e quando ela é linear.
- Lembrar as hipóteses do teorema de existência & unicidade: coeficientes contínuos num intervalo contendo o ponto inicial, e o termo em
também.
Passo 2
Classificação da equação:
- Ordem: aparece só
(nenhuma derivada de ordem maior), então é de 1ª ordem. - Linearidade: uma EDO de 1ª ordem é linear se pode ficar na forma
Aqui dividimos tudo por
(desde que
) e obtemos
Ou seja
Logo: é uma EDO de 1ª ordem e linear.
Passo 3
Teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf) diz: se
e
são contínuas num intervalo que contenha
, então existe uma única solução passando por
.
Aqui e
são funções contínuas em qualquer intervalo que não inclua as singularidades
.
Como nosso ponto inicial é , podemos escolher, por exemplo, um intervalo como
. Nesse intervalo
e
são contínuas, logo o teorema garante existência e unicidade de solução para
.
Aqui
Como nosso ponto inicial é
Resposta
a) É uma equação diferencial de 1ª ordem e linear.
b) Como os coeficientes e
são contínuos em um intervalo que contém
(por exemplo
), pelo teorema de existência e unicidade existe uma única solução com
.
b) Como os coeficientes