Questão 2. Resolva a equação
com a condição auxiliar
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial parcial de primeira ordem
com condição auxiliar (condição inicial)
Pergunta: determinar a solução
que satisfaz a equação e a condição inicial. As informações relevantes são:
- A equação é linear de primeira ordem com coeficientes dependentes de
. - A condição inicial é dada ao longo da reta
para todo .
Passo 2
Vou aplicar o método das características (explico o que é: traçar curvas no plano
ao longo das quais a PDE vira uma ODE). Escrevemos o sistema de características associado ao campo de direções
:
onde
é o parâmetro ao longo da característica. Aqui a terceira equação vem porque a combinação dos derivadas de
segundo a direção dada pela PDE é zero, logo
é constante ao longo de cada característica.
Passo 3
Parametrizamos a curva inicial (onde
) por um parâmetro
: nos pontos iniciais
pois da condição inicial
. Agora integramos as equações simples:
Da segunda equação,
Da segunda equação,
Da terceira equação,
Isso já mostra que
ao longo da característica vale o valor inicial
.
Passo 4
Integramos a primeira equação para
. Escrevendo separação de variáveis:
Integrando ambos os lados (usar que
):
Aplicando a condição inicial
(ou seja, quando
tem
) obtemos
. Logo
Passo 5
Eliminamos
e
para expressar
em termos de
e
. Da relação
temos
Como
, então
Mas
ao longo da característica, logo
Verificação rápida (importantíssima na prova): calcule as derivadas
Substituindo na PDE:
logo a função satisfaz a equação. Também satisfaz a condição inicial pois
.
Passo 6
Resumo prático para a prova (passos que você deve reproduzir):
- Escreva o sistema das características
. - Use a condição inicial para parametrizar as curvas iniciais e obter as constantes.
- Integre as ODEs obtendo expressões para
. - Elimine os parâmetros
e o parâmetro da condição inicial para escrever em função de .
Aqui deu-se tudo explicitamente e obteve-se a solução no domínio onde(para que e sejam reais).