Questão 2. Resolva a equação \sqrt{1-x^{2}} u_{x}+u_{y}=0 com a condição auxiliar u(0, y)=y.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial de primeira ordem
\sqrt{1-x^{2}}\,u_{x}+u_{y}=0
com condição auxiliar (condição inicial)
u(0,y)=y.
Pergunta: determinar a solução u(x,y) que satisfaz a equação e a condição inicial. As informações relevantes são:
  • A equação é linear de primeira ordem com coeficientes dependentes de x.
  • A condição inicial é dada ao longo da reta x=0 para todo y.

Passo 2

Vou aplicar o método das características (explico o que é: traçar curvas no plano (x,y) ao longo das quais a PDE vira uma ODE). Escrevemos o sistema de características associado ao campo de direções (\sqrt{1-x^{2}},1):
\frac{dx}{ds}=\sqrt{1-x^{2}},\qquad \frac{dy}{ds}=1,\qquad \frac{du}{ds}=0,
onde s é o parâmetro ao longo da característica. Aqui a terceira equação vem porque a combinação dos derivadas de u segundo a direção dada pela PDE é zero, logo u é constante ao longo de cada característica.

Passo 3

Parametrizamos a curva inicial (onde s=0) por um parâmetro \eta: nos pontos iniciais
x(0)=0,\qquad y(0)=\eta,\qquad u(0)=\eta,
pois da condição inicial u(0,\eta)=\eta. Agora integramos as equações simples:
Da segunda equação,
\frac{dy}{ds}=1 \quad\Rightarrow\quad y(s)=s+\eta.
Da terceira equação,
\frac{du}{ds}=0 \quad\Rightarrow\quad u(s)=\text{const}=\eta.
Isso já mostra que u ao longo da característica vale o valor inicial \eta.

Passo 4

Integramos a primeira equação para x(s). Escrevendo separação de variáveis:
\frac{dx}{ds}=\sqrt{1-x^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=ds.
Integrando ambos os lados (usar que \dfrac{d}{dx}\arcsin(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}):
\arcsin(x)=s+C.
Aplicando a condição inicial x(0)=0 (ou seja, quando s=0 tem \arcsin(0)=0) obtemos C=0. Logo
\arcsin(x)=s \quad\Rightarrow\quad x=\sin s.

Passo 5

Eliminamos s e \eta para expressar u em termos de x e y. Da relação y=s+\eta temos
\eta = y-s.
Como \arcsin(x)=s, então
\eta = y-\arcsin(x).
Mas u=\eta ao longo da característica, logo
u(x,y)=y-\arcsin(x).
Verificação rápida (importantíssima na prova): calcule as derivadas
u_{x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad u_{y}=1.
Substituindo na PDE:
\sqrt{1-x^{2}}\,u_{x}+u_{y} =\sqrt{1-x^{2}}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)+1=-1+1=0,
logo a função satisfaz a equação. Também satisfaz a condição inicial pois u(0,y)=y-\arcsin(0)=y.

Passo 6

Resumo prático para a prova (passos que você deve reproduzir):
  1. Escreva o sistema das características \dfrac{dx}{ds}=a(x,y),\\ \dfrac{dy}{ds}=b(x,y),\\ \dfrac{du}{ds}=a u_x+b u_y.
  2. Use a condição inicial para parametrizar as curvas iniciais e obter as constantes.
  3. Integre as ODEs obtendo expressões para x(s),y(s),u(s).
  4. Elimine os parâmetros s e o parâmetro da condição inicial para escrever u em função de x,y.
    Aqui deu-se tudo explicitamente e obteve-se a solução no domínio onde |x|\le 1 (para que \sqrt{1-x^{2}} e \arcsin(x) sejam reais).

Resposta

u(x,y)=y-\arcsin(x)

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