Questão 5. Considere o escoamento sobre uma asa plana de formato elíptico com ângulo de ataque \alpha. Ailerons cuja envergadura ocupa o terço periférico da envergadura da asa são defletidos de forma que a distribuição do ângulo para sustentação nula ao longo da envergadura da asa é dado por
\begin{gathered} \alpha_{L=0}=-\beta \text { para }-\frac{b}{2}<y<-\frac{b}{3} \\\ \alpha_{L=0}=0 \text { para }-\frac{b}{3}<y<\frac{b}{3} \\\ \alpha_{L=0}=\beta \text { para } \frac{b}{3}<y<\frac{b}{2} \end{gathered}
(a) Encontre o coeficiente de sustentação da asa;
(b) plote um gráfico com a distribuição de circulação ao longo da envergadura;
(c) desenvolva uma equação para o momento de rolagem em termos de parâmetros da asa.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre uma asa plana de formato elíptico (span total b) com ângulo de ataque \alpha e com a distribuição do ângulo para sustentação nula \alpha_{L=0}(y) dada por
(a) Encontrar o coeficiente de sustentação da asa C_L.
(b) Traçar (ou dar expressão para) a distribuição de circulação \Gamma(y) ao longo da envergadura.
(c) Desenvolver uma equação para o momento de rolagem (momento em torno do eixo do avião, causado pela distribuição de forças ao longo da envergadura) em termos dos parâmetros da asa.
Informações relevantes dadas (resumindo):
Asa elíptica: o contorno da corda é tal que a corda local pode ser escrita como c(y)=c_0\sqrt{1-(2y/b)^2}; é conveniente usar a mudança de variável y=(b/2)\cos\theta com \theta\in(0,\pi).
A distribuição de \alpha_{L=0}(y) é peça‑wise constante: \pm\beta nas extremidades (terço periférico) e zero no núcleo central.
Ângulo de ataque \alpha é uniforme (não dito, mas usualmente assumido).
Queremos resultado em termos geométricos da asa (envergadura b, área S, corda máxima “parâmetro” c_0), do parâmetro do aerofólio a_0 (slope 2D; para aerofólio fino a_0\approx 2\pi [rad^{-1}]) e da deflexão medida por \beta.
Observações do enunciado que vamos usar:
A figura da distribuição \alpha_{L=0} foi fornecida no enunciado (peças constantes); usei os limites y=\pm b/3 para localizar as regiões quando mudar para a variável \theta.
Não há números numéricos (apenas parâmetros), então as respostas serão formulas simbólicas.]
Passo 2
Breve revisão didática (ferramentas que vamos usar) — lifting-line de Prandtl e transformação em \theta.
Ideia física (intuição): para velocidade U e densidade \rho, a circulação local \Gamma(y) gera força por unidade de envergadura L'(y)=\rho U \Gamma(y). O empuxo total (sustentação total) é L=\int_{-b/2}^{b/2}L'(y)\,dy=\rho U\int_{-b/2}^{b/2}\Gamma(y)\,dy. O coeficiente de sustentação é C_L=\dfrac{L}{\tfrac12\rho U^2 S}.
Para asas finitas usa-se a teoria de linha de sustentação (Prandtl): representamos \Gamma como série em modos senoidais convenientemente escolhidos. A transformação padrão é
y=\frac{b}{2}\cos\theta,\qquad \theta\in(0,\pi).
Nessa variável a corda da asa elíptica escreve-se convenientemente como
c(\theta)=c_0\sin\theta,
onde c_0 é um parâmetro relacionado à área S por
S=\int_{-b/2}^{b/2} c(y)\,dy = \frac{\pi b c_0}{4}.
Explicando: calculei S usando dy=-(b/2)\sin\theta\,d\theta e integração de 0 a \pi.
onde a=b/2 é a semi‑envergadura. (Observação: algumas referências escrevem 2Ua ou Ub, dependendo da notação; aqui uso a=b/2 para ficar consistente com y=a\cos\theta.) Cada coeficiente A_n é determinado pela equação integral da linha de sustentação; para o caso elíptico (onde c(\theta)\propto\sin\theta) a equação se simplifica a uma relação direta entre a expansão do termo geométrico-angular \alpha(\theta)-\alpha_{L=0}(\theta) e os A_n:
\alpha(\theta)-\alpha_{L=0}(\theta)=\frac{a_0 c_0}{4a}\sum_{n=1}^\infty n A_n \sin n\theta,
onde a_0 é o slope de 2D do aerofólio (por exemplo a_0\approx2\pi rad^{-1}). Essa igualdade aparece porque o fator \sin\theta do c(\theta) cancela o /\sin\theta que surge na formula geral (explicação completa pode ser vista nas deduções da teoria de Prandtl; aqui eu mostro a forma final que usaremos).
Portanto, se expandirmos a função f(\theta)=\alpha(\theta)-\alpha_{L=0}(\theta) em série seno:
Isto vale porque \int_0^\pi\sin n\theta\,d\theta = \dfrac{1-(-1)^n}{n}. Em particular:
para n par esse termo é zero,
para n ímpar ele vale \dfrac{4\alpha}{\pi n}.
Portanto o termo constante gera apenas contribuições nos modos ímpares — esse é o modo que produz sustentação total (modo n=1 domina).
Integral do termo \alpha_{L=0}(\theta). Por simetria (a distribuição é anti‑simétrica em y) observamos que esse termo:
gera somente coeficientes B_n nos n pares (explicação breve: a transformação \theta\mapsto\pi-\theta troca sinal de y, e \alpha_{L=0} é ímpar em y; ao projetar em \sin n\theta obtém‑se cancelamentos que deixam apenas os termos pares).
Podemos calcular explicitamente (eu mostro a forma compacta útil):
Essa integral pode ser avaliada em fechado se necessário (por exemplo \int_0^{\theta_0}\sin 2\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}(1-\cos2\theta_0), etc.).
Passo 4
Determinação do coeficiente de sustentação C_L — parte (a), com explicação didática.
Observação importante e muito usada em provas: a sustentação total depende da média (integral) da distribuição \alpha-\alpha_{L=0} ao longo da envergadura. A função \alpha_{L=0}(y) dada é anti‑simétrica em y (isto é, \alpha_{L=0}(-y)=-\alpha_{L=0}(y)). A média de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Portanto a contribuição média de \alpha_{L=0} ao ângulo efetivo para sustentar é zero — ela não muda a sustentação total: ela gera distribuição assimétrica de circulação (momento de rolagem), mas não altera o valor de C_L causado pelo ângulo de ataque médio \alpha.
Resultado padrão da teoria de asas finitas (lifting‑line) para um aerofólio fino com slope 2D a_0 e asa elíptica (para pequenas inclinações em radianos) dá a curva de sustentação da asa inteira:
onde AR=\dfrac{b^2}{S} é o aspect ratio. Esta é uma fórmula clássica: é a correção tridimensional da slope 2D a_0. Substituindo a_0\approx 2\pi (ângulos em radianos) obtemos a forma muito usada
C_L=\dfrac{2\pi\,AR}{AR+2}\;\alpha.
Conclusão (resposta da parte (a)), com explicação curta: a distribuição de \alpha_{L=0} dada tem média zero, logo não altera a sustentação global. Assim:
Distribuição de circulação \Gamma(y) — parte (b). Vamos construir a expressão e explicar como plotar.
Decomposição natural: escrever \Gamma como soma de um termo simétrico (provocado pelo \alpha uniforme) e um termo anti‑simétrico (provocado por \alpha_{L=0}(y)):
com amplitude \Gamma_0 obtida impondo a sustentação total L. Fazendo as contas (integrando a forma elíptica) obtém‑se
\Gamma_0=\frac{2 U S\, C_L}{\pi b},
porque L=\rho U\int_{-b/2}^{b/2}\Gamma\,dy e C_L=L/(\tfrac12\rho U^2 S). Note que C_L é o da parte (a). Portanto a parte simétrica está totalmente determinada por \alpha (e geometria/velocidade):
\boxed{\,\Gamma_{\text{sym}}(y)=\frac{2 U S\, C_L}{\pi b}\sqrt{1-\bigg(\dfrac{2y}{b}\bigg)^2}\,.}
Termo anti‑simétrico (produzido pelos ailerons / \alpha_{L=0}): usar a expansão em modos \theta:
e B_n^{(\text{anti})}=0 para n ímpar. (Isto decorre do passo 3; mostrei a forma compacta dos coeficientes.) Em particular o modo dominante dessa parte costuma ser n=2 (o menor modo par), portanto, em primeira aproximação podemos reter só n=2:
Substituindo a=b/2 se preferir, ou c_0=4S/(\pi b) para escrever em termos de S e b.
Portanto, a forma aproximada (mantendo o termo dominante n=1 simétrico e n=2 antissimétrico) é
\boxed{\,\Gamma(\theta)\approx \underbrace{\dfrac{2 U S\, C_L}{\pi b}\sin\theta}_{\text{(re-escrita de }\Gamma_{\text{sym}}\text{ em }\theta\text{)}} \;+\;2Ua\;A_2^{(\text{anti})}\sin 2\theta,}
lembrando que \sin\theta=\sqrt{1-(2y/b)^2} e que \theta=\operatorname{arccos}(2y/b). Isso dá\Gamma(y) que você pode plotar numericamente: o primeiro termo é uma campânula simétrica (elipse), o segundo é um termo com zero total (integral nula) que desloca massa de circulação para uma ponta e tira da outra, produzindo o efeito de rolagem.
Como orientar o plot prático: escolha parâmetros (por ex. b=1, S compatível, a_0=2\pi, \beta pequeno), compute C_L pela parte (a), calcule \Gamma_{\text{sym}}(y) e \Gamma_{\text{anti}}(y) com a expressão de A_2 acima e some. O gráfico mostrará a parte simétrica positiva em todo span e a parte anti‑simétrica positiva numa ponta e negativa na outra (nenhuma contribuição média para força).
Passo 6
Momento de rolagem — parte (c). Derivação passo a passo e resultado em termos de parâmetros:
Definição: o momento de rolagem em torno do eixo longitudinal central (momento produzido pela força de sustentação distribuída) é
Observação: a parte simétrica \Gamma_{\text{sym}}(y) é par em y, multiplicada por y (ímpar), dá integral zero: \Gamma_{\text{sym}} não contribui para rolagem. Portanto só os modos anti‑simétricos (vindos de \alpha_{L=0}) contribuem.
Em \theta (com y=a\cos\theta, dy=-a\sin\theta\,d\theta, a=b/2) a integral fica
M_x=\rho U\int_0^\pi \Gamma(\theta)\,y(\theta)\, \big|dy\big| =\rho U \,a^2 \int_0^\pi \Gamma(\theta)\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
Substituir aproximação com principal modo anti‑simétrico n=2:
Simplificar o integrando: \sin\theta\cos\theta=\tfrac12\sin2\theta, portanto o integrando é \sin2\theta\cdot\tfrac12\sin2\theta=\tfrac12\sin^2 2\theta. Assim
Se preferir um momento não dimensional (coeficiente de momento de rolagem C_l) relativo a q S b com q=\tfrac12\rho U^2,
C_l=\frac{M_x}{q S b} \approx -\frac{\pi b^4\beta}{16 a_0 S^2}\,(1-\cos2\theta_0).
Usando S=b^2/AR isso pode ser transformado em termos de AR se quiser.
Interpretação física e sinais: o sinal negativo indica que, para o sinal assumido de \beta, o momento tende a rolar numa direção determinada (escolha de sinal depende da convenção). O fator (1-\cos2\theta_0) representa a fração geométrica associada ao fato de que os ailerons ocupam a região desde |y|=b/3 até a ponta.
Passo 7
Recapitulação didática curta (como fazer rápido na prova):
Para (a): note que \alpha_{L=0}(y) tem média zero — portanto não altera a sustentação total; use a fórmula de lifting‑line para asa elíptica:
C_L NÃO depende de \beta (nesta distribuição anti‑simétrica).
Ailerons introduzem um termo anti‑simétrico em \Gamma que causa momento de rolagem proporcional a \beta (para pequenas deflexões).
Para plotar, usar \Gamma_{\text{sym}} elíptico e adicionar \Gamma_{\text{anti}} (n=2) para ver a assimetria.
Resposta
C_L=\dfrac{a_0}{1+\dfrac{a_0}{\pi\,AR}}\;\alpha (ou C_L=\dfrac{2\pi\,AR}{AR+2}\,\alpha se a_0=2\pi).\n \Gamma(y)=\Gamma_{\text{sym}}(y)+\Gamma_{\text{anti}}(y) com \displaystyle \Gamma_{\text{sym}}(y)=\dfrac{2 U S C_L}{\pi b}\sqrt{1-\Big(\dfrac{2y}{b}\Big)^2} e, em primeira aproximação pelo modo dominante,\n \displaystyle \Gamma_{\text{anti}}(\theta)\approx 2Ua\,A_2^{(\text{anti})}\sin2\theta,\quad A_2^{(\text{anti})}=-\dfrac{4a\beta}{\pi a_0 c_0}\big(1-\cos2\theta_0\big),\\ \theta_0=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{2}{3}\big).\n M_x\approx -\rho U^2\displaystyle\frac{b^4\beta}{8 a_0 c_0}\,\big(1-\cos2\theta_0\big) (ou M_x\approx -\rho U^2\displaystyle\frac{\pi b^5\beta}{32 a_0 S}\,(1-\cos2\theta_0));\n
equivalente não dimensional: \displaystyle C_l=\frac{M_x}{qSb}\approx -\frac{\pi b^4\beta}{16 a_0 S^2}\,(1-\cos2\theta_0).