Questão 5. Considere o escoamento sobre uma asa plana de formato elíptico com ângulo de ataque \alpha. Ailerons cuja envergadura ocupa o terço periférico da envergadura da asa são defletidos de forma que a distribuição do ângulo para sustentação nula ao longo da envergadura da asa é dado por
\begin{gathered} \alpha_{L=0}=-\beta \text { para }-\frac{b}{2}<y<-\frac{b}{3} \\\ \alpha_{L=0}=0 \text { para }-\frac{b}{3}<y<\frac{b}{3} \\\ \alpha_{L=0}=\beta \text { para } \frac{b}{3}<y<\frac{b}{2} \end{gathered}
(a) Encontre o coeficiente de sustentação da asa;
(b) plote um gráfico com a distribuição de circulação ao longo da envergadura;
(c) desenvolva uma equação para o momento de rolagem em termos de parâmetros da asa.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre uma asa plana de formato elíptico (span total b) com ângulo de ataque \alpha e com a distribuição do ângulo para sustentação nula \alpha_{L=0}(y) dada por
\begin{gathered} \alpha_{L=0}=-\beta \quad\text{para } -\frac{b}{2}<y<-\frac{b}{3},\\[4pt] \alpha_{L=0}=0 \quad\text{para } -\frac{b}{3}<y<\frac{b}{3},\\[4pt] \alpha_{L=0}=+\beta \quad\text{para } \frac{b}{3}<y<\frac{b}{2}. \end{gathered}
As perguntas são:
  1. (a) Encontrar o coeficiente de sustentação da asa C_L.
  2. (b) Traçar (ou dar expressão para) a distribuição de circulação \Gamma(y) ao longo da envergadura.
  3. (c) Desenvolver uma equação para o momento de rolagem (momento em torno do eixo do avião, causado pela distribuição de forças ao longo da envergadura) em termos dos parâmetros da asa.
Informações relevantes dadas (resumindo):
  • Asa elíptica: o contorno da corda é tal que a corda local pode ser escrita como c(y)=c_0\sqrt{1-(2y/b)^2}; é conveniente usar a mudança de variável y=(b/2)\cos\theta com \theta\in(0,\pi).
  • A distribuição de \alpha_{L=0}(y) é peça‑wise constante: \pm\beta nas extremidades (terço periférico) e zero no núcleo central.
  • Ângulo de ataque \alpha é uniforme (não dito, mas usualmente assumido).
  • Queremos resultado em termos geométricos da asa (envergadura b, área S, corda máxima “parâmetro” c_0), do parâmetro do aerofólio a_0 (slope 2D; para aerofólio fino a_0\approx 2\pi [rad^{-1}]) e da deflexão medida por \beta.
Observações do enunciado que vamos usar:
  • A figura da distribuição \alpha_{L=0} foi fornecida no enunciado (peças constantes); usei os limites y=\pm b/3 para localizar as regiões quando mudar para a variável \theta.
  • Não há números numéricos (apenas parâmetros), então as respostas serão formulas simbólicas.]

Passo 2

Breve revisão didática (ferramentas que vamos usar) — lifting-line de Prandtl e transformação em \theta.
  1. Ideia física (intuição): para velocidade U e densidade \rho, a circulação local \Gamma(y) gera força por unidade de envergadura L'(y)=\rho U \Gamma(y). O empuxo total (sustentação total) é L=\int_{-b/2}^{b/2}L'(y)\,dy=\rho U\int_{-b/2}^{b/2}\Gamma(y)\,dy. O coeficiente de sustentação é C_L=\dfrac{L}{\tfrac12\rho U^2 S}.
  2. Para asas finitas usa-se a teoria de linha de sustentação (Prandtl): representamos \Gamma como série em modos senoidais convenientemente escolhidos. A transformação padrão é
y=\frac{b}{2}\cos\theta,\qquad \theta\in(0,\pi).
Nessa variável a corda da asa elíptica escreve-se convenientemente como
c(\theta)=c_0\sin\theta,
onde c_0 é um parâmetro relacionado à área S por
S=\int_{-b/2}^{b/2} c(y)\,dy = \frac{\pi b c_0}{4}.
Explicando: calculei S usando dy=-(b/2)\sin\theta\,d\theta e integração de 0 a \pi.
  1. Representação clássica da circulação (Prandtl):
\Gamma(\theta)=2U a\sum_{n=1}^\infty A_n\sin n\theta,
onde a=b/2 é a semi‑envergadura. (Observação: algumas referências escrevem 2Ua ou Ub, dependendo da notação; aqui uso a=b/2 para ficar consistente com y=a\cos\theta.) Cada coeficiente A_n é determinado pela equação integral da linha de sustentação; para o caso elíptico (onde c(\theta)\propto\sin\theta) a equação se simplifica a uma relação direta entre a expansão do termo geométrico-angular \alpha(\theta)-\alpha_{L=0}(\theta) e os A_n:
\alpha(\theta)-\alpha_{L=0}(\theta)=\frac{a_0 c_0}{4a}\sum_{n=1}^\infty n A_n \sin n\theta,
onde a_0 é o slope de 2D do aerofólio (por exemplo a_0\approx2\pi rad^{-1}). Essa igualdade aparece porque o fator \sin\theta do c(\theta) cancela o /\sin\theta que surge na formula geral (explicação completa pode ser vista nas deduções da teoria de Prandtl; aqui eu mostro a forma final que usaremos).
  1. Portanto, se expandirmos a função f(\theta)=\alpha(\theta)-\alpha_{L=0}(\theta) em série seno:
f(\theta)=\sum_{n=1}^\infty B_n\sin n\theta,\qquad B_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(\theta)\sin n\theta\,d\theta,
temos a relação entre os coeficientes:
B_n=\frac{a_0 c_0}{4a}\,n A_n \quad\Longrightarrow\quad A_n=\frac{4a}{a_0 c_0}\frac{B_n}{n}.
Essa é a ferramenta que vou usar para obter A_n a partir de \alpha e de \alpha_{L=0}.

Passo 3

Aplicação ao problema: escrever f(\theta)=\alpha-\alpha_{L=0}(\theta) em \theta e calcular os coeficientes B_n.
  1. Primeiro achamos os limites em \theta correspondentes a y=\pm b/3. Usando y=(b/2)\cos\theta temos
\cos\theta_0=\frac{2y}{b}=\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad \theta_0=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{2}{3}\right).
Portanto, em \theta:
  • \alpha_{L=0}(\theta)=+\beta para \theta\in(0,\theta_0) (região próxima da ponta y>b/3).
  • \alpha_{L=0}(\theta)=0 para \theta\in(\theta_0,\pi-\theta_0) (região central).
  • \alpha_{L=0}(\theta)=-\beta para \theta\in(\pi-\theta_0,\pi) (região próxima da ponta direita).
  1. A função que vamos expandir é f(\theta)=\alpha - \alpha_{L=0}(\theta). Os coeficientes B_n são
B_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi\!\big(\alpha-\alpha_{L=0}(\theta)\big)\sin n\theta\,d\theta.
Dividimos em dois termos: contribuição de \alpha (constante) e contribuição de \alpha_{L=0}.
  1. Integral do termo constante \alpha:
\frac{2}{\pi}\alpha\int_0^\pi\sin n\theta\,d\theta =\frac{2\alpha}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}.
Isto vale porque \int_0^\pi\sin n\theta\,d\theta = \dfrac{1-(-1)^n}{n}. Em particular:
  • para n par esse termo é zero,
  • para n ímpar ele vale \dfrac{4\alpha}{\pi n}.
Portanto o termo constante gera apenas contribuições nos modos ímpares — esse é o modo que produz sustentação total (modo n=1 domina).
  1. Integral do termo \alpha_{L=0}(\theta). Por simetria (a distribuição é anti‑simétrica em y) observamos que esse termo:
  • gera somente coeficientes B_n nos n pares (explicação breve: a transformação \theta\mapsto\pi-\theta troca sinal de y, e \alpha_{L=0} é ímpar em y; ao projetar em \sin n\theta obtém‑se cancelamentos que deixam apenas os termos pares).
    Podemos calcular explicitamente (eu mostro a forma compacta útil):
B_n \;=\; -\frac{2}{\pi}\, \beta\,(1+(-1)^n)\int_0^{\theta_0}\sin n\theta\,d\theta.
Isto implica que para n ímpar a contribuição de \alpha_{L=0} é zero, e para n par
B_n = -\frac{4\beta}{\pi}\int_0^{\theta_0}\sin n\theta\,d\theta \qquad(\text{quando }n\\ \text{é par}).é
Essa integral pode ser avaliada em fechado se necessário (por exemplo \int_0^{\theta_0}\sin 2\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}(1-\cos2\theta_0), etc.).

Passo 4

Determinação do coeficiente de sustentação C_L — parte (a), com explicação didática.
  1. Observação importante e muito usada em provas: a sustentação total depende da média (integral) da distribuição \alpha-\alpha_{L=0} ao longo da envergadura. A função \alpha_{L=0}(y) dada é anti‑simétrica em y (isto é, \alpha_{L=0}(-y)=-\alpha_{L=0}(y)). A média de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Portanto a contribuição média de \alpha_{L=0} ao ângulo efetivo para sustentar é zero — ela não muda a sustentação total: ela gera distribuição assimétrica de circulação (momento de rolagem), mas não altera o valor de C_L causado pelo ângulo de ataque médio \alpha.
  2. Resultado padrão da teoria de asas finitas (lifting‑line) para um aerofólio fino com slope 2D a_0 e asa elíptica (para pequenas inclinações em radianos) dá a curva de sustentação da asa inteira:
C_L \;=\; \dfrac{a_0}{1+\dfrac{a_0}{\pi\,AR}}\;\alpha,
onde AR=\dfrac{b^2}{S} é o aspect ratio. Esta é uma fórmula clássica: é a correção tridimensional da slope 2D a_0. Substituindo a_0\approx 2\pi (ângulos em radianos) obtemos a forma muito usada
C_L=\dfrac{2\pi\,AR}{AR+2}\;\alpha.
  1. Conclusão (resposta da parte (a)), com explicação curta: a distribuição de \alpha_{L=0} dada tem média zero, logo não altera a sustentação global. Assim:
\boxed{\,C_L=\dfrac{a_0}{1+\dfrac{a_0}{\pi\,AR}}\;\alpha\quad\text{(geral)} \quad\text{ou}\quad C_L=\dfrac{2\pi\,AR}{AR+2}\,\alpha\quad\text{(se }a_0=2\pi\text{).}}
Lembrete: \alpha deve estar em radianos.

Passo 5

Distribuição de circulação \Gamma(y) — parte (b). Vamos construir a expressão e explicar como plotar.
  1. Decomposição natural: escrever \Gamma como soma de um termo simétrico (provocado pelo \alpha uniforme) e um termo anti‑simétrico (provocado por \alpha_{L=0}(y)):
\Gamma(y)=\Gamma_{\text{sym}}(y)+\Gamma_{\text{anti}}(y).
  1. Termo simétrico (elíptico): para uma asa elíptica e ângulo de ataque uniforme, a solução clássica é distribuição elíptica de circulação
\Gamma_{\text{sym}}(y)=\Gamma_0\sqrt{1-\bigg(\dfrac{2y}{b}\bigg)^2},
com amplitude \Gamma_0 obtida impondo a sustentação total L. Fazendo as contas (integrando a forma elíptica) obtém‑se
\Gamma_0=\frac{2 U S\, C_L}{\pi b},
porque L=\rho U\int_{-b/2}^{b/2}\Gamma\,dy e C_L=L/(\tfrac12\rho U^2 S). Note que C_L é o da parte (a). Portanto a parte simétrica está totalmente determinada por \alpha (e geometria/velocidade):
\boxed{\,\Gamma_{\text{sym}}(y)=\frac{2 U S\, C_L}{\pi b}\sqrt{1-\bigg(\dfrac{2y}{b}\bigg)^2}\,.}
  1. Termo anti‑simétrico (produzido pelos ailerons / \alpha_{L=0}): usar a expansão em modos \theta:
\Gamma_{\text{anti}}(\theta)=2U a\sum_{n=1}^\infty A_n^{(\text{anti})}\sin n\theta,
onde (lembre a=b/2) os coeficientes para a parte gerada por \alpha_{L=0} calculam‑se a partir de
A_n^{(\text{anti})}=\frac{4a}{a_0 c_0}\,\frac{B_n^{(\text{anti})}}{n}, \qquad B_n^{(\text{anti})}=-\frac{4\beta}{\pi}\int_0^{\theta_0}\sin n\theta\,d\theta\quad(\text{para }n\text{ par}),
e B_n^{(\text{anti})}=0 para n ímpar. (Isto decorre do passo 3; mostrei a forma compacta dos coeficientes.) Em particular o modo dominante dessa parte costuma ser n=2 (o menor modo par), portanto, em primeira aproximação podemos reter só n=2:
\Gamma_{\text{anti}}(\theta)\approx 2Ua\,A_2^{(\text{anti})}\sin 2\theta.
  1. Expressões explícitas úteis (modo n=2 em fechado). Calculei a integral para n=2:
\int_0^{\theta_0}\sin 2\theta\,d\theta=\frac{1-\cos 2\theta_0}{2}.
Logo
B_2^{(\text{anti})}=-\frac{4\beta}{\pi}\cdot\frac{1-\cos2\theta_0}{2} =-\frac{2\beta}{\pi}\,(1-\cos2\theta_0).
E então
A_2^{(\text{anti})}=\frac{4a}{a_0 c_0}\frac{B_2^{(\text{anti})}}{2} =\frac{2a}{a_0 c_0}\,B_2^{(\text{anti})} =-\frac{4a\beta}{\pi a_0 c_0}\,(1-\cos2\theta_0).
Substituindo a=b/2 se preferir, ou c_0=4S/(\pi b) para escrever em termos de S e b.
  1. Portanto, a forma aproximada (mantendo o termo dominante n=1 simétrico e n=2 antissimétrico) é
\boxed{\,\Gamma(\theta)\approx \underbrace{\dfrac{2 U S\, C_L}{\pi b}\sin\theta}_{\text{(re-escrita de }\Gamma_{\text{sym}}\text{ em }\theta\text{)}} \;+\;2Ua\;A_2^{(\text{anti})}\sin 2\theta,}
lembrando que \sin\theta=\sqrt{1-(2y/b)^2} e que \theta=\operatorname{arccos}(2y/b). Isso dá \Gamma(y) que você pode plotar numericamente: o primeiro termo é uma campânula simétrica (elipse), o segundo é um termo com zero total (integral nula) que desloca massa de circulação para uma ponta e tira da outra, produzindo o efeito de rolagem.
  1. Como orientar o plot prático: escolha parâmetros (por ex. b=1, S compatível, a_0=2\pi, \beta pequeno), compute C_L pela parte (a), calcule \Gamma_{\text{sym}}(y) e \Gamma_{\text{anti}}(y) com a expressão de A_2 acima e some. O gráfico mostrará a parte simétrica positiva em todo span e a parte anti‑simétrica positiva numa ponta e negativa na outra (nenhuma contribuição média para força).

Passo 6

Momento de rolagem — parte (c). Derivação passo a passo e resultado em termos de parâmetros:
  1. Definição: o momento de rolagem em torno do eixo longitudinal central (momento produzido pela força de sustentação distribuída) é
M_x=\int_{-b/2}^{b/2} y\,L'(y)\,dy = \rho U\int_{-b/2}^{b/2} y\,\Gamma(y)\,dy.
Observação: a parte simétrica \Gamma_{\text{sym}}(y) é par em y, multiplicada por y (ímpar), dá integral zero: \Gamma_{\text{sym}} não contribui para rolagem. Portanto só os modos anti‑simétricos (vindos de \alpha_{L=0}) contribuem.
  1. Em \theta (com y=a\cos\theta, dy=-a\sin\theta\,d\theta, a=b/2) a integral fica
M_x=\rho U\int_0^\pi \Gamma(\theta)\,y(\theta)\, \big|dy\big| =\rho U \,a^2 \int_0^\pi \Gamma(\theta)\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
  1. Substituir aproximação com principal modo anti‑simétrico n=2:
\Gamma_{\text{anti}}(\theta)\approx 2Ua\,A_2^{(\text{anti})}\sin 2\theta.
Logo
M_x \approx \rho U \,a^2 \int_0^\pi \big(2Ua\,A_2^{(\text{anti})}\sin 2\theta\big)\cos\theta\sin\theta\,d\theta =2\rho U^2 a^3 A_2^{(\text{anti})}\int_0^\pi \sin2\theta\sin\theta\cos\theta\,d\theta.
  1. Simplificar o integrando: \sin\theta\cos\theta=\tfrac12\sin2\theta, portanto o integrando é \sin2\theta\cdot\tfrac12\sin2\theta=\tfrac12\sin^2 2\theta. Assim
\int_0^\pi \sin2\theta\sin\theta\cos\theta\,d\theta =\frac12\int_0^\pi \sin^2 2\theta\,d\theta=\frac12\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}.
(Usei o resultado \int_0^\pi\sin^2 m\theta\,d\theta=\pi/2 para inteiro m\ne0.)
  1. Portanto
M_x\approx 2\rho U^2 a^3 A_2^{(\text{anti})}\cdot\frac{\pi}{4} = \rho U^2 a^3 A_2^{(\text{anti})}\,\frac{\pi}{2}.
Substituindo a=b/2 a^3=(b/2)^3=b^3/8, assim
M_x\approx \rho U^2 \frac{b^3}{8} A_2^{(\text{anti})}\,\frac{\pi}{2} = \rho U^2 \frac{\pi b^3}{16}\,A_2^{(\text{anti})}.
  1. Substituir o valor de A_2^{(\text{anti})} obtido no passo 5 do item (b):
A_2^{(\text{anti})}=-\frac{4a\beta}{\pi a_0 c_0}\,(1-\cos2\theta_0) \quad\text{(lembre \(a=b/2\)).}
Substituindo em M_x e simplificando (coloquei a=b/2 explicitamente) obtemos
M_x \approx \rho U^2 \frac{\pi b^3}{16}\cdot\left[-\frac{4(b/2)\beta}{\pi a_0 c_0}\,(1-\cos2\theta_0)\right] = -\rho U^2\frac{b^4\beta}{8 a_0 c_0}\,(1-\cos2\theta_0).
  1. Podemos escrever c_0 em função de S e b usando c_0=4S/(\pi b). Substituindo,
M_x \approx -\rho U^2\frac{b^4\beta}{8 a_0}\cdot\frac{\pi b}{4S}\,(1-\cos2\theta_0) = -\rho U^2\frac{\pi b^5\beta}{32 a_0 S}\,(1-\cos2\theta_0).
Se preferir um momento não dimensional (coeficiente de momento de rolagem C_l) relativo a q S b com q=\tfrac12\rho U^2,
C_l=\frac{M_x}{q S b} \approx -\frac{\pi b^4\beta}{16 a_0 S^2}\,(1-\cos2\theta_0).
Usando S=b^2/AR isso pode ser transformado em termos de AR se quiser.
  1. Interpretação física e sinais: o sinal negativo indica que, para o sinal assumido de \beta, o momento tende a rolar numa direção determinada (escolha de sinal depende da convenção). O fator (1-\cos2\theta_0) representa a fração geométrica associada ao fato de que os ailerons ocupam a região desde |y|=b/3 até a ponta.

Passo 7

Recapitulação didática curta (como fazer rápido na prova):
  1. Para (a): note que \alpha_{L=0}(y) tem média zero — portanto não altera a sustentação total; use a fórmula de lifting‑line para asa elíptica:
\boxed{\,C_L=\dfrac{a_0}{1+\dfrac{a_0}{\pi AR}}\;\alpha\quad\text{(ou)}\quad C_L=\dfrac{2\pi\,AR}{AR+2}\,\alpha\\ \text{se }a_0=2\pi.}
  1. Para (b): escreva \Gamma=\Gamma_{\text{sym}}+\Gamma_{\text{anti}}. A parte simétrica (devida a \alpha) é elíptica:
\boxed{\,\Gamma_{\text{sym}}(y)=\dfrac{2 U S C_L}{\pi b}\sqrt{1-\bigg(\dfrac{2y}{b}\bigg)^2}\,}
A parte anti‑simétrica obtém‑se pela expansão em senos; o primeiro modo relevante é o n=2 com coeficiente
\boxed{\,A_2^{(\text{anti})}=-\dfrac{4a\beta}{\pi a_0 c_0}\,(1-\cos2\theta_0),\quad \theta_0=\operatorname{arccos}\!\bigg(\tfrac{2}{3}\bigg).}
Então, em \theta,
\Gamma_{\text{anti}}(\theta)\approx 2Ua\,A_2^{(\text{anti})}\sin2\theta,
e \Gamma(y)=\Gamma_{\text{sym}}(y)+\Gamma_{\text{anti}}(y). Plote somando esses termos.
  1. Para (c): o momento de rolagem aproximado (retenção do modo n=2) é
\boxed{\,M_x\approx -\rho U^2\frac{b^4\beta}{8 a_0 c_0}\,(1-\cos2\theta_0) \;=\; -\rho U^2\frac{\pi b^5\beta}{32 a_0 S}\,(1-\cos2\theta_0).}
Ou, adimensionalizando por qSb ( q=\tfrac12\rho U^2),
\boxed{\,C_l=\frac{M_x}{qSb}\approx -\frac{\pi b^4\beta}{16 a_0 S^2}\,(1-\cos2\theta_0).}
Essas fórmulas mostram claramente que:
  • C_L NÃO depende de \beta (nesta distribuição anti‑simétrica).
  • Ailerons introduzem um termo anti‑simétrico em \Gamma que causa momento de rolagem proporcional a \beta (para pequenas deflexões).
  • Para plotar, usar \Gamma_{\text{sym}} elíptico e adicionar \Gamma_{\text{anti}} (n=2) para ver a assimetria.

Resposta

C_L=\dfrac{a_0}{1+\dfrac{a_0}{\pi\,AR}}\;\alpha (ou C_L=\dfrac{2\pi\,AR}{AR+2}\,\alpha se a_0=2\pi).\n
\Gamma(y)=\Gamma_{\text{sym}}(y)+\Gamma_{\text{anti}}(y) com \displaystyle \Gamma_{\text{sym}}(y)=\dfrac{2 U S C_L}{\pi b}\sqrt{1-\Big(\dfrac{2y}{b}\Big)^2} e, em primeira aproximação pelo modo dominante,\n
\displaystyle \Gamma_{\text{anti}}(\theta)\approx 2Ua\,A_2^{(\text{anti})}\sin2\theta,\quad A_2^{(\text{anti})}=-\dfrac{4a\beta}{\pi a_0 c_0}\big(1-\cos2\theta_0\big),\\ \theta_0=\operatorname{arccos}\!\big(\tfrac{2}{3}\big).\n
M_x\approx -\rho U^2\displaystyle\frac{b^4\beta}{8 a_0 c_0}\,\big(1-\cos2\theta_0\big) (ou M_x\approx -\rho U^2\displaystyle\frac{\pi b^5\beta}{32 a_0 S}\,(1-\cos2\theta_0));\n
equivalente não dimensional: \displaystyle C_l=\frac{M_x}{qSb}\approx -\frac{\pi b^4\beta}{16 a_0 S^2}\,(1-\cos2\theta_0).

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