Encontre a razão entre o coeficiente de momento de arfagem em relação ao bordo de ataque e coeficiente de sustentação para asas com grande razão de aspecto com formato planar
elíptico;
elíptico;
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a razão entre o coeficiente de momento de arfagem em relação ao bordo de ataque e o coeficiente de sustentação, isto é calcular
Informações relevantes dadas ou que vamos assumir (tudo que vou usar na resolução):
- A asa tem formato planar elíptico e grande razão de aspecto (AR alta).
- Vamos tratar a asa no regime de asas finas (perfís delgados) e assumir que a contribuição de momento da distribuição aerodinâmica sobre a corda pode ser representada por um momento localizado no chamado centro aerodinâmico (isso é padrão nessas aproximações).
- Para asas com as hipóteses acima (perfís finos, AR grande, planform elíptica) vamos assumir que o momento em torno do centro aerodinâmico é independente da sustentação e que, para perfis simétricos finos, esse momento no centro aerodinâmico pode ser tomado como zero.
(Não estou resolvendo nada ainda — apenas listei o que o problema pede e as informações/hipóteses que usarei.)
Passo 2
Definições fundamentais e notação (vou explicar cada símbolo para você poder reproduzir na prova):
-
é a força de sustentação total da asa. -
é o momento de arfagem (pitching moment) da resultante aerodinâmica tomado em relação ao bordo de ataque (leading edge). -
é a pressão dinâmica, . -
é a área da asa. -
é a corda aerodinâmica média (mean aerodynamic chord). Este é o comprimento usado para não-dimensionalizar momentos de asas com cordas variáveis. -
é o coeficiente de sustentação definido por
-
é o coeficiente de momento em relação ao bordo de ataque, definido por
-
é a distância (medida ao longo da corda, a partir do bordo de ataque) do centro aerodinâmico até o bordo de ataque. Em termos não-dimensionais usamos .
Explicação física rápida do centro aerodinâmico: é o ponto ao redor do qual o momento aerodinâmico não varia (ou varia muito pouco) com o ângulo de ataque — isso permite separar o efeito de uma força resultante
aplicada num ponto (distância
do bordo de ataque) e um momento residual no centro aerodinâmico.
Passo 3
Relacionamento entre momentos e forças (a conta central, explicada passo a passo):
- A resultante de sustentação
aplicada numa posição a uma distância do bordo de ataque produz, quando vista em relação ao bordo de ataque, um momento igual a . O sinal negativo indica que, se a sustentação age atrás do bordo de ataque, ela tende a produzir um momento que vira o nariz para baixo (convenção usual; o importante é o módulo e o sinal relativo). - Além desse termo proveniente da força resultante, pode haver um momento “intrínseco” colocado no centro aerodinâmico, que chamamos de
. Então o momento total em relação ao bordo de ataque é
(obs.: aqui a forma
é só a escrita algébrica do que disse em palavras; se preferir pensar: somamos os momentos em torno do bordo de ataque vindos do momento no ac e da força levantadora.)
- Agora dividimos tudo por
para passar a coeficientes. Fazendo isso obtemos
- Reescrevendo em termos de
e das razões não-dimensionais,
Isto é uma fórmula geral que relaciona o coeficiente de momento em torno do bordo de ataque com o coeficiente de sustentação, a posição do centro aerodinâmico e o momento no centro aerodinâmico.
Passo 4
Aplicando as hipóteses da asa elíptica de grande AR e perfis finos:
- Pela teoria de aerofoils finos (teoria do aerofólio fino) e pela teoria de asa de lifting-line para asas com grande razão de aspecto e planform elíptica, o centro aerodinâmico fica próximo ao quarto de corda (isto é,
). Essa é uma propriedade clássica: o ponto (quarter-chord) é o centro aerodinâmico para perfis delgados e continua válido como boa aproximação para asas de AR grande com distribuição elíptica. - Para perfis simétricos finos, o momento em torno do centro aerodinâmico é nulo, ou seja
. (Se o perfil tivesse um momento intrínseco, essa fração seria um termo constante a ser somado; o enunciado típico pede a razão ligada à geometria, então usamos a hipótese usual de .) - Substituindo
e na expressão do Passo 3:
Passo 5
Interpretação final e resposta explícita:
- Da equação acima concluímos que a razão pedida é simplesmente
- Significado físico: para essa aproximação a resultante de sustentação pode ser tratada como atuando a um quarto da corda a partir do bordo de ataque, e não há momento residual no centro aerodinâmico; portanto o momento em torno do bordo de ataque é puramente o braço
vezes a força (quando não há momento intrínseco).