Encontre a razão entre o coeficiente de momento de arfagem em relação ao bordo de ataque e coeficiente de sustentação para asas com grande razão de aspecto com formato planar
elíptico;

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a razão entre o coeficiente de momento de arfagem em relação ao bordo de ataque e o coeficiente de sustentação, isto é calcular
\frac{C_{m,LE}}{C_L}.
Informações relevantes dadas ou que vamos assumir (tudo que vou usar na resolução):
  • A asa tem formato planar elíptico e grande razão de aspecto (AR alta).
  • Vamos tratar a asa no regime de asas finas (perfís delgados) e assumir que a contribuição de momento da distribuição aerodinâmica sobre a corda pode ser representada por um momento localizado no chamado centro aerodinâmico (isso é padrão nessas aproximações).
  • Para asas com as hipóteses acima (perfís finos, AR grande, planform elíptica) vamos assumir que o momento em torno do centro aerodinâmico é independente da sustentação e que, para perfis simétricos finos, esse momento no centro aerodinâmico pode ser tomado como zero.
    (Não estou resolvendo nada ainda — apenas listei o que o problema pede e as informações/hipóteses que usarei.)

Passo 2

Definições fundamentais e notação (vou explicar cada símbolo para você poder reproduzir na prova):
  • L é a força de sustentação total da asa.
  • M_{LE} é o momento de arfagem (pitching moment) da resultante aerodinâmica tomado em relação ao bordo de ataque (leading edge).
  • q é a pressão dinâmica, q=\tfrac12\rho V^2.
  • S é a área da asa.
  • \bar c é a corda aerodinâmica média (mean aerodynamic chord). Este é o comprimento usado para não-dimensionalizar momentos de asas com cordas variáveis.
  • C_L é o coeficiente de sustentação definido por
C_L=\frac{L}{qS}.
  • C_{m,LE} é o coeficiente de momento em relação ao bordo de ataque, definido por
C_{m,LE}=\frac{M_{LE}}{qS\bar c}.
  • x_{ac} é a distância (medida ao longo da corda, a partir do bordo de ataque) do centro aerodinâmico até o bordo de ataque. Em termos não-dimensionais usamos \dfrac{x_{ac}}{\bar c}.
Explicação física rápida do centro aerodinâmico: é o ponto ao redor do qual o momento aerodinâmico não varia (ou varia muito pouco) com o ângulo de ataque — isso permite separar o efeito de uma força resultante L aplicada num ponto (distância x_{ac} do bordo de ataque) e um momento residual no centro aerodinâmico.

Passo 3

Relacionamento entre momentos e forças (a conta central, explicada passo a passo):
  • A resultante de sustentação L aplicada numa posição a uma distância x_{ac} do bordo de ataque produz, quando vista em relação ao bordo de ataque, um momento igual a -L\,x_{ac}. O sinal negativo indica que, se a sustentação age atrás do bordo de ataque, ela tende a produzir um momento que vira o nariz para baixo (convenção usual; o importante é o módulo e o sinal relativo).
  • Além desse termo proveniente da força resultante, pode haver um momento “intrínseco” colocado no centro aerodinâmico, que chamamos de M_{ac}. Então o momento total em relação ao bordo de ataque é
M_{LE} = M_{ac} - L\,x_{ac}.
(obs.: aqui a forma M_{LE}=M_{ac}-Lx_{ac} é só a escrita algébrica do que disse em palavras; se preferir pensar: somamos os momentos em torno do bordo de ataque vindos do momento no ac e da força levantadora.)
  • Agora dividimos tudo por qS\bar c para passar a coeficientes. Fazendo isso obtemos
C_{m,LE}=\frac{M_{LE}}{qS\bar c}=\frac{M_{ac}}{qS\bar c}-\frac{L\,x_{ac}}{qS\bar c}.
  • Reescrevendo em termos de C_L e das razões não-dimensionais,
C_{m,LE}=\frac{M_{ac}}{qS\bar c}-C_L\cdot\frac{x_{ac}}{\bar c}.
Isto é uma fórmula geral que relaciona o coeficiente de momento em torno do bordo de ataque com o coeficiente de sustentação, a posição do centro aerodinâmico e o momento no centro aerodinâmico.

Passo 4

Aplicando as hipóteses da asa elíptica de grande AR e perfis finos:
  • Pela teoria de aerofoils finos (teoria do aerofólio fino) e pela teoria de asa de lifting-line para asas com grande razão de aspecto e planform elíptica, o centro aerodinâmico fica próximo ao quarto de corda (isto é, x_{ac}\approx \tfrac{\bar c}{4}). Essa é uma propriedade clássica: o ponto c/4 (quarter-chord) é o centro aerodinâmico para perfis delgados e continua válido como boa aproximação para asas de AR grande com distribuição elíptica.
  • Para perfis simétricos finos, o momento em torno do centro aerodinâmico é nulo, ou seja \dfrac{M_{ac}}{qS\bar c}=0. (Se o perfil tivesse um momento intrínseco, essa fração seria um termo constante a ser somado; o enunciado típico pede a razão ligada à geometria, então usamos a hipótese usual de M_{ac}=0.)
  • Substituindo x_{ac}=\tfrac{\bar c}{4} e M_{ac}=0 na expressão do Passo 3:
C_{m,LE} = 0 - C_L\cdot\frac{\bar c/4}{\bar c} = -C_L\cdot\frac{1}{4}.

Passo 5

Interpretação final e resposta explícita:
  • Da equação acima concluímos que a razão pedida é simplesmente
\frac{C_{m,LE}}{C_L}=-\frac{1}{4}.
  • Significado físico: para essa aproximação a resultante de sustentação pode ser tratada como atuando a um quarto da corda a partir do bordo de ataque, e não há momento residual no centro aerodinâmico; portanto o momento em torno do bordo de ataque é puramente o braço -\tfrac14 vezes a força (quando não há momento intrínseco).

Resposta

-\tfrac{1}{4}

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