Questão 3. Considere uma asa afilada. As características das seções no plano central e na ponta da asa estão listadas na tabela e variam linearmente ao longo da envergadura.
centro
ponta
corda
3.048
1.524
5.5
5.8
incidência
5.5
3.5
A envergadura da asa é de 12.192 m .
(a) Essa asa tem washin ou washout?
(b) Determine a área e a razão de aspecto dessa asa.
(c) Calcule a distribuição de circulação sobre a asa a uma velocidade de
(d) Para a mesma condição, calcule o coeficiente de sustentação e de arrasto induzido.
(e) Compare o arrasto induzido obtido com o gerado por uma distribuição elíptica gerando a mesma sustentação.
| centro | ponta | |
| corda
|
3.048 | 1.524 |
|
|
5.5 | 5.8 |
| incidência
|
5.5 | 3.5 |
(a) Essa asa tem washin ou washout?
(b) Determine a área e a razão de aspecto dessa asa.
(c) Calcule a distribuição de circulação sobre a asa a uma velocidade de
(d) Para a mesma condição, calcule o coeficiente de sustentação e de arrasto induzido.
(e) Compare o arrasto induzido obtido com o gerado por uma distribuição elíptica gerando a mesma sustentação.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede, para não nos perder no desespero (respira, dá pra fazer 😅). Dados fornecidos na tabela e envergadura:
Observações importantes (dados que vamos assumir porque não foram fornecidos explicitamente):
O enunciado pede:
(a) identificar se há washin ou washout;
(b) área da asa e razão de aspecto
;
(c) distribuição de circulação a
;
(d) coeficiente de sustentação e coeficiente de arrasto induzido
nessa condição;
(e) comparar com o arrasto induzido de uma distribuição elíptica que gera a mesma sustentação.
(a) identificar se há washin ou washout;
(b) área
(c) distribuição de circulação
(d) coeficiente de sustentação
(e) comparar
Passo 2
(a) O que é washin / washout e identificação prática:
- Washout: a ponta tem menor incidência que a raiz (ou seja, twist que reduz ângulo para a ponta) — isto reduz sustentação perto da ponta para evitar estol por ponta.
- Washin: a ponta tem maior incidência que a raiz.
Aquie . A ponta tem ângulo menor que a raiz, logo é washout. (Breve didática: washout = ponta com menos ângulo que raiz.)
Passo 3
(b) Área e razão de aspecto — como corda varia linearmente, o valor médio da corda é a média da raiz e ponta. Fórmulas e cálculo.
Substituindo:
(Arredondarei nas respostas finais, mas guardo precisão nas contas.)
Razão de aspecto:
Calculando
:
Logo
Comentário didático: para uma asa cujo corda varia linearmente, a área é a envergadura vezes a corda média; AR cresce com envergadura e diminui com área.
Passo 4
(c) Método para distribuição de circulação — introdução didática ao método que vou usar (Prandtl lifting-line):
- Ideia: representamos a circulação ao longo da semienvergadura por uma série trigonométrica
onde usamos a transformação espacial
- A equação integral de lifting-line, convertida em sistema linear por expansão em senos e avaliação em pontos de colisão, fica (forma padrão):
Explicando variáveis (pra não esquecer):
-
: circulação local (m^2/s). -
: coeficientes da série que vamos resolver. -
: velocidade livre . -
: inclinação da curva de sustentação 2D na seção (em ). -
: corda local. -
: ângulo geométrico local (em rad). -
: ângulo de zero-sustentação local (assumi zero).
Breve justificativa: a primeira soma representa a contribuição da sustentação 2D local (dependendo de
e
), a segunda soma representa o ângulo de ataque induzido pela distribuição de vorticidade (induzido por toda a asa). O objetivo é resolver para os
.
Passo 5
Preparação numérica — como as grandezas variam linearmente com a distância à raiz:
- Para uma seção localizada a
(usamos por simetria), a fração de semienvergadura é . Como , temos .
Logo as variações lineares transformam-se em:
Convertemos ângulos para radianos:
diferença
Passo 6
Escolha da discretização e cálculo dos parâmetros nos pontos de colisão:
- Vou usar
termos na série (suficiente para boa aproximação aqui) e pontos de colisão
ou seja
.
Para cada (uso
quando necessário) calculamos
.
Para cada
Cálculos (valores arredondados para apresentação, mantendo precisão interna):
E
(radianos):
Passo 7
Montagem do sistema linear em termos dos
:
Para cada e
,
Para cada
e o sistema é
Cálculos trigonométricos e os
(valores arredondados) dão as linhas (apresento os valores numéricos para organizar o sistema):
Linha
(
):
Linha
(
):
Linha
(
):
Linhas
replicam
por simetria. O vetor RHS é
.
Didática: a matriz é simétrica no sentido espeço (ala direita/ esquerda) e, para uma asa simétrica em geometria e carregamento, sabemos que os coeficientes
dos termos pares são zero (apenas termos ímpares permanecem). Isso simplifica o sistema.
Passo 8
Redução por simetria — só termos ímpares são não-nulos:
Mantemos
. Extraindo as colunas correspondentes e usando as três primeiras linhas (as outras são redundantes), obtemos o 3×3:
]
Passo 9
Resolução do sistema 3×3 (eliminação gaussiana) — mostro passos essenciais e resultados:
- Eliminando
das linhas 1 e 3 usando a linha 2 como pivô, e depois resolvendo o 2×2 resultante, obtemos numericamente:
E confirmando por simetria
.
Comentário didático:
é dominante (como esperado — termo mais importante, responsável pela maior parte da sustentação), os termos de ordem superior são pequenos e ajustam a forma da distribuição.
Passo 10
(c) Distribuição de circulação
e valores numéricos:
Fórmula final da expansão (lembrando que e usamos a simetria para
):
Fórmula final da expansão (lembrando que
Aqui
Substituindo os
encontrados (com
) temos
Valores importantes ao longo da semienvergadura (usei
raiz,
,
m que corresponde a
, e ponta
):
-
(centro, ): -
( ): -
( ): -
(ponta, ): (como deve ser fisicamente).
Didática:
é máxima na raiz e decresce para zero na ponta — padrão típico quando há washout: menos circulação por seção na ponta.
Passo 11
(d) Coeficiente de sustentação
e coeficiente de arrasto induzido
.
Fórmulas úteis da lifting-line (padrão):
- Coeficiente de sustentação total:
Substituindo
e
:
- Coeficiente de arrasto induzido (pela soma dos quadrados dos
ponderados):
Usando os
não nulos:
Portanto
Se quisermos o arrasto induzido
em Newtons, usamos
. Tomando
(condição-sea-level típica),
Comentário: o
obtido (≈0,344) é compatível com a incidência média da asa (em torno de alguns graus) para esse perfil e velocidade.
Passo 12
(e) Comparação com distribuição elíptica (mesma sustentação):
- Arrasto induzido ideal para distribuição elíptica é
Com
,
Comparando:
Ou seja, a distribuição real (com washout e variação de
e corda) produz um arrasto induzido cerca de
maior que o ideal elíptico para a mesma sustentação. Em termos de força,
enquanto
(diferença ≈16 N).
Comentário físico rápido: uma asa elíptica é a melhor distribuição para minimizar arrasto induzido para um dado
e AR. A nossa asa, por causa da variação de corda e twist, fica muito próxima do ideal — ótima notícia!
Resposta
(a) washout.
(b)
(aprox.
);
(aprox.
).
(c)
com
. Valores de exemplo:
(d)
(arrasto induzido
usando
).
(e) Para distribuição elíptica com mesma sustentação
(arrasto ≈
). A asa dada tem
cerca de
maior que o elíptico (diferença ≈
).