Questão 3. Considere uma asa afilada. As características das seções no plano central e na ponta da asa estão listadas na tabela e variam linearmente ao longo da envergadura.
centro ponta
corda (\mathrm{m}) 3.048 1.524
\left(\partial C_{l} / \partial \alpha\right)_{\infty}\left(\mathrm{rad}^{-1}\right) 5.5 5.8
incidência \left(^{\circ}\right) 5.5 3.5
A envergadura da asa é de 12.192 m .
(a) Essa asa tem washin ou washout?
(b) Determine a área e a razão de aspecto dessa asa.
(c) Calcule a distribuição de circulação sobre a asa a uma velocidade de 80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
(d) Para a mesma condição, calcule o coeficiente de sustentação e de arrasto induzido.
(e) Compare o arrasto induzido obtido com o gerado por uma distribuição elíptica gerando a mesma sustentação.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede, para não nos perder no desespero (respira, dá pra fazer 😅). Dados fornecidos na tabela e envergadura:
\begin{aligned} &c_{\text{root}}=3{,}048\\ \text{m},\qquad c_{\text{tip}}=1{,}524\\ \text{m},\\\ &\left(\frac{\partial C_l}{\partial\alpha}\right)_{\infty,\text{root}}=5{,}5\\ \text{rad}^{-1},\qquad \left(\frac{\partial C_l}{\partial\alpha}\right)_{\infty,\text{tip}}=5{,}8\\ \text{rad}^{-1},\\\ &\alpha_{\text{geom,root}}=5{,}5^\circ,\qquad \alpha_{\text{geom,tip}}=3{,}5^\circ,\\\ &b=12{,}192\\ \text{m}. \end{aligned}
Observações importantes (dados que vamos assumir porque não foram fornecidos explicitamente):
\alpha_{L0}(\text{seção})=0\quad\text{(assumo ângulo de zero sustentação nulo para as seções, comum em exercícios)}.çãâçãçõí
O enunciado pede:
(a) identificar se há washin ou washout;
(b) área S da asa e razão de aspecto \mathrm{AR};
(c) distribuição de circulação \Gamma(y) a V=80\\ \mathrm{m/s};
(d) coeficiente de sustentação C_L e coeficiente de arrasto induzido C_{D,i} nessa condição;
(e) comparar C_{D,i} com o arrasto induzido de uma distribuição elíptica que gera a mesma sustentação.

Passo 2

(a) O que é washin / washout e identificação prática:
  • Washout: a ponta tem menor incidência que a raiz (ou seja, twist que reduz ângulo para a ponta) — isto reduz sustentação perto da ponta para evitar estol por ponta.
  • Washin: a ponta tem maior incidência que a raiz.
    Aqui \alpha_{\text{root}}=5{,}5^\circ e \alpha_{\text{tip}}=3{,}5^\circ. A ponta tem ângulo menor que a raiz, logo é washout. (Breve didática: washout = ponta com menos ângulo que raiz.)

Passo 3

(b) Área e razão de aspecto — como corda varia linearmente, o valor médio da corda é a média da raiz e ponta. Fórmulas e cálculo.
S = b\cdot\frac{c_{\text{root}}+c_{\text{tip}}}{2}.
Substituindo:
\frac{c_{\text{root}}+c_{\text{tip}}}{2}=\frac{3{,}048+1{,}524}{2}=2{,}286\\ \text{m},
S = 12{,}192 \times 2{,}286 = 27{,}870{,}912\times 10^{-3}\\ \text{m}^2 = 27{,}870912\\ \text{m}^2.
(Arredondarei nas respostas finais, mas guardo precisão nas contas.)
Razão de aspecto:
\mathrm{AR}=\frac{b^2}{S}.
Calculando b^2:
b^2 = 12{,}192^2 = 148{,}644{,}864\times 10^{-6} = 148{,}644864\\ \text{m}^2.
Logo
\mathrm{AR}=\frac{148{,}644864}{27{,}870912}=\frac{16}{3}\approx 5{,}3333.
Comentário didático: para uma asa cujo corda varia linearmente, a área é a envergadura vezes a corda média; AR cresce com envergadura e diminui com área.

Passo 4

(c) Método para distribuição de circulação — introdução didática ao método que vou usar (Prandtl lifting-line):
  • Ideia: representamos a circulação ao longo da semienvergadura por uma série trigonométrica
\Gamma(\theta)=2 b V \sum_{n=1}^{N} A_n \sin(n\theta),
onde usamos a transformação espacial
y=\frac{b}{2}\cos\theta,\qquad 0\le\theta\le\pi.
  • A equação integral de lifting-line, convertida em sistema linear por expansão em senos e avaliação em pontos de colisão, fica (forma padrão):
\alpha(\theta)-\alpha_{L0}(\theta)=\frac{1}{a_0(\theta)}\cdot\frac{4b}{c(\theta)}\sum_{n=1}^N A_n\sin(n\theta) +\sum_{n=1}^N\frac{nA_n\sin(n\theta)}{\sin\theta}.
Explicando variáveis (pra não esquecer):
  • \Gamma(\theta): circulação local (m^2/s).
  • A_n: coeficientes da série que vamos resolver.
  • V: velocidade livre =80\\ \mathrm{m/s}.
  • a_0(\theta): inclinação da curva de sustentação 2D na seção (em \mathrm{rad}^{-1}).
  • c(\theta): corda local.
  • \alpha(\theta): ângulo geométrico local (em rad).
  • \alpha_{L0}(\theta): ângulo de zero-sustentação local (assumi zero).
Breve justificativa: a primeira soma representa a contribuição da sustentação 2D local (dependendo de a_0 e c), a segunda soma representa o ângulo de ataque induzido pela distribuição de vorticidade (induzido por toda a asa). O objetivo é resolver para os A_n.

Passo 5

Preparação numérica — como as grandezas variam linearmente com a distância à raiz:
  • Para uma seção localizada a y (usamos |y| por simetria), a fração de semienvergadura é \xi=2|y|/b. Como y=(b/2)\cos\theta, temos \xi=|\cos\theta|.
    Logo as variações lineares transformam-se em:
\begin{aligned} c(\theta)&=c_{\text{root}}+(c_{\text{tip}}-c_{\text{root}})\,|\cos\theta|,\\\ a_0(\theta)&=a_{0,\text{root}}+(a_{0,\text{tip}}-a_{0,\text{root}})\,|\cos\theta|,\\\ \alpha(\theta)&=\alpha_{\text{root}}+(\alpha_{\text{tip}}-\alpha_{\text{root}})\,|\cos\theta|. \end{aligned}
Convertemos ângulos para radianos:
\alpha_{\text{root}}=5{,}5^\circ=0{,}0959931\\ \text{rad},\quad \alpha_{\text{tip}}=3{,}5^\circ=0{,}0610865\\ \text{rad},
diferença \Delta\alpha=-2^\circ=-0{,}0349066\\ \text{rad}.

Passo 6

Escolha da discretização e cálculo dos parâmetros nos pontos de colisão:
  • Vou usar N=5 termos na série (suficiente para boa aproximação aqui) e pontos de colisão
\theta_j=\frac{j\pi}{N+1},\quad j=1,\dots,5,
ou seja \theta_j=30^\circ,60^\circ,90^\circ,120^\circ,150^\circ.
Para cada \theta_j (uso |\cos\theta| quando necessário) calculamos c_j,a_{0,j},\alpha_j.
Cálculos (valores arredondados para apresentação, mantendo precisão interna):
\begin{array}{c|c|c|c|c} j & \theta_j & |\cos\theta_j| & c_j\\ (\mathrm{m}) & a_{0,j}\\ (\mathrm{rad}^{-1})\\hline 1 & 30^\circ & 0{,}8660254 & 3{,}048-1{,}524\cdot 0{,}8660254=1{,}72798 & 5{,}5+0{,}3\cdot0{,}8660254=5{,}75981\\\\ 2 & 60^\circ & 0{,}5 & 2{,}286 & 5{,}65\\\\ 3 & 90^\circ & 0 & 3{,}048 & 5{,}5\\\\ 4 &120^\circ & 0{,}5 & 2{,}286 & 5{,}65\\\\ 5 &150^\circ &0{,}8660254 &1{,}72798 &5{,}75981 \end{array}
E \alpha_j (radianos):
\alpha_1=0{,}0657601,\\ \alpha_2=0{,}0785398,\\ \alpha_3=0{,}0959931,\\ \alpha_4=\alpha_2,\\ \alpha_5=\alpha_1.

Passo 7

Montagem do sistema linear em termos dos A_n:
Para cada j e n,
M_{j,n}=\frac{4b}{a_{0,j} c_j}\sin(n\theta_j)+\frac{n\sin(n\theta_j)}{\sin\theta_j},
e o sistema é
\sum_{n=1}^5 M_{j,n} A_n = \alpha_j,\qquad j=1,\dots,5.
Cálculos trigonométricos e os M_{j,n} (valores arredondados) dão as linhas (apresento os valores numéricos para organizar o sistema):
Linha j=1 ( \theta=30^\circ):
[M_{1,1},M_{1,2},M_{1,3},M_{1,4},M_{1,5}] \approx[3{,}45,\\\ 7{,}706,\\\ 10{,}90,\\\ 11{,}17,\\\ 7{,}45].
Linha j=2 ( \theta=60^\circ):
\approx[4{,}273,\\\ 5{,}273,\\\ 0,\\\ -7{,}273,\\\ -8{,}273].
Linha j=3 ( \theta=90^\circ):
\approx[3{,}91,\\\ 0,\\\ -5{,}91,\\\ 0,\\\ 7{,}91].
Linhas j=4,j=5 replicam j=2,j=1 por simetria. O vetor RHS é [\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_2,\alpha_1].
Didática: a matriz é simétrica no sentido espeço (ala direita/ esquerda) e, para uma asa simétrica em geometria e carregamento, sabemos que os coeficientes A_n dos termos pares são zero (apenas termos ímpares permanecem). Isso simplifica o sistema.

Passo 8

Redução por simetria — só termos ímpares são não-nulos:
A_2=A_4=0.
Mantemos A_1,A_3,A_5. Extraindo as colunas correspondentes e usando as três primeiras linhas (as outras são redundantes), obtemos o 3×3:
\begin{pmatrix} 3{,}45 & 10{,}90 & 7{,}45\\[4pt] 4{,}273 & 0 & -8{,}273\\[4pt] 3{,}91 & -5{,}91 & 7{,}91 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A_1\A_3\A_5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0{,}0657601\\\ 0{,}0785398\\\ 0{,}0959931\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resolução do sistema 3×3 (eliminação gaussiana) — mostro passos essenciais e resultados:
  • Eliminando A_1 das linhas 1 e 3 usando a linha 2 como pivô, e depois resolvendo o 2×2 resultante, obtemos numericamente:
A_1\approx 0{,}020499,\qquad A_3\approx -0{,}001205,\qquad A_5\approx 0{,}0010969.
E confirmando por simetria A_2=A_4=0.
Comentário didático: A_1 é dominante (como esperado — termo mais importante, responsável pela maior parte da sustentação), os termos de ordem superior são pequenos e ajustam a forma da distribuição.

Passo 10

(c) Distribuição de circulação \Gamma(y) e valores numéricos:
Fórmula final da expansão (lembrando que \theta=\operatorname{arccos}(2y/b) e usamos a simetria para |y|):
\Gamma(\theta)=2 b V \sum_{n=1}^5 A_n\sin(n\theta).
Aqui
2bV = 2\cdot 12{,}192\cdot 80 = 1{,}950{,}72.
Substituindo os A_n encontrados (com A_2=A_4=0) temos
\Gamma(\theta)\approx 1{,}950{,}72\big(0{,}020499\sin\theta -0{,}001205\sin3\theta +0{,}0010969\sin5\theta\big).
Valores importantes ao longo da semienvergadura (usei y=0 raiz, y=b/4, y\approx5{,}279 m que corresponde a \theta=30^\circ, e ponta y=b/2):
  • y=0 (centro, \theta=90^\circ): \Gamma(0)\approx 44{,}48\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • y=\tfrac{b}{4}=3{,}048\\ \text{m} ( \theta=60^\circ): \Gamma\approx 32{,}73\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • y\approx5{,}279\\ \text{m} ( \theta=30^\circ): \Gamma\approx 18{,}72\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • y=b/2=6{,}096\\ \text{m} (ponta, \theta=0): \Gamma=0 (como deve ser fisicamente).
Didática: \Gamma é máxima na raiz e decresce para zero na ponta — padrão típico quando há washout: menos circulação por seção na ponta.

Passo 11

(d) Coeficiente de sustentação C_L e coeficiente de arrasto induzido C_{D,i}.
Fórmulas úteis da lifting-line (padrão):
  • Coeficiente de sustentação total:
C_L=\pi\,\mathrm{AR}\,A_1.
Substituindo \mathrm{AR}=5{,}3333 e A_1=0{,}020499:
C_L\approx \pi\cdot 5{,}3333\cdot 0{,}020499 \approx 0{,}3437.
  • Coeficiente de arrasto induzido (pela soma dos quadrados dos A_n ponderados):
C_{D,i}=\pi\,\mathrm{AR}\sum_{n=1}^\infty n A_n^2.
Usando os A_n não nulos:
\sum n A_n^2 = 1\cdot A_1^2 +3\cdot A_3^2 +5\cdot A_5^2 \approx 0{,}00042012 +0{,}000004356 +0{,}000006016 =0{,}000430492.
Portanto
C_{D,i}\approx \pi\cdot 5{,}3333\cdot 0{,}000430492 \approx 0{,}00721.
Se quisermos o arrasto induzido D_i em Newtons, usamos q=\tfrac{1}{2}\rho V^2. Tomando \rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3} (condição-sea-level típica),
q=\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}225\cdot 80^2 =3{,}920\\ \text{Pa},
D_i = C_{D,i}\,q\,S \approx 0{,}00721\cdot 3{,}920\cdot 27{,}870912 \approx 787\\ \text{N}.
Comentário: o C_L obtido (≈0,344) é compatível com a incidência média da asa (em torno de alguns graus) para esse perfil e velocidade.

Passo 12

(e) Comparação com distribuição elíptica (mesma sustentação):
  • Arrasto induzido ideal para distribuição elíptica é
C_{D,i,\text{ell}}=\frac{C_L^2}{\pi\,\mathrm{AR}}.
Com C_L\approx 0{,}3437,
C_{D,i,\text{ell}}=\frac{0{,}3437^2}{\pi\cdot 5{,}3333}\approx 0{,}00705.
Comparando:
\frac{C_{D,i}-C_{D,i,\text{ell}}}{C_{D,i,\text{ell}}}\approx\frac{0{,}00721-0{,}00705}{0{,}00705}\approx 0{,}0227\approx 2{,}3\%.
Ou seja, a distribuição real (com washout e variação de a_0 e corda) produz um arrasto induzido cerca de 2{,}3\% maior que o ideal elíptico para a mesma sustentação. Em termos de força, D_{i,\text{ell}}\approx 771\\ \text{N} enquanto D_i\approx 787\\ \text{N} (diferença ≈16 N).
Comentário físico rápido: uma asa elíptica é a melhor distribuição para minimizar arrasto induzido para um dado C_L e AR. A nossa asa, por causa da variação de corda e twist, fica muito próxima do ideal — ótima notícia!

Resposta

(a) washout.
(b) S=27{,}870912\\ \mathrm{m}^2 (aprox. 27{,}871\\ \mathrm{m}^2); \mathrm{AR}=5{,}3333 (aprox. 5{,}33).
(c) \displaystyle \Gamma(\theta)\approx 1{,}950{,}72\big(0{,}020499\sin\theta-0{,}001205\sin3\theta+0{,}0010969\sin5\theta\big), com \theta=\operatorname{arccos}(2y/b). Valores de exemplo: \Gamma(0)\approx 44{,}48\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s},\\ \Gamma(b/4)\approx 32{,}73\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s},\\ \Gamma(5{,}279\\ \mathrm{m})\approx 18{,}72\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s},\\ \Gamma(b/2)=0.
(d) C_L\approx 0{,}3437. C_{D,i}\approx 0{,}00721 (arrasto induzido D_i\approx 787\\ \text{N} usando \rho=1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}).
(e) Para distribuição elíptica com mesma sustentação C_{D,i,\text{ell}}=C_L^2/(\pi\mathrm{AR})\approx 0{,}00705 (arrasto ≈ 771\\ \text{N}). A asa dada tem C_{D,i} cerca de 2{,}3\% maior que o elíptico (diferença ≈ 16\\ \text{N}).

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