São quatro equações lineares envolvendo as quatro incógnitas x,y,z,w.
Queremos o quádruplo \big(x,y,z,w\big) que satisfaz todas as equações simultaneamente.]
Passo 2
Estratégia (resumida): vou resolver o sistema por eliminação de Gauss (eliminação por linhas), que consiste em escrever a matriz aumentada do sistema e usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar linha por constante não nula, adicionar múltiplos de uma linha a outra) para transformá-la numa forma triangular superior; daí resolvo por substituição regressiva. Rápida explicação das ferramentas que vou usar:
Matriz aumentada: é a matriz que junta os coeficientes e os termos independentes; facilita visualizar e operar.
Operações permitidas (não alteram o conjunto de soluções): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra.
Objetivo prático: zerar coeficientes abaixo dos pivôs (diagonal principal) para obter equações fáceis de resolver.
Passo 3
Escrevendo a matriz aumentada do sistema (linhas na ordem das equações dadas):
Zerar os outros termos da coluna 2 usando a nova \text{R}_2:
Para zerar o 1 em \text{R}_1: \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - \text{R}_2.
Cálculo:[2,1,3,0\mid1]-[0,1,5,1\mid3]=[2,0,-2,-1\mid-2].Nova \text{R}_1=[2,0,-2,-1\mid-2].
Para zerar o -1 em \text{R}_4: \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 + \text{R}_2.
Cálculo:[0,-1,-1,8\mid5]+[0,1,5,1\mid3]=[0,0,4,9\mid8].Nova \text{R}_4=[0,0,4,9\mid8].
Agora queremos zerar os coeficientes na coluna 3 (variável z) abaixo e acima do pivô \text{R}_3. A linha 3 é [0,0,-3,5\mid1].
Para eliminar o coeficiente -2 de z em \text{R}_1: fator = \dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}. Faço \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - \tfrac{2}{3}\text{R}_3.
Cálculo parcial: \tfrac{2}{3}\text{R}_3=\big[0,0,-2,\tfrac{10}{3}\mid\tfrac{2}{3}\big].
Então\text{R}_1=[2,0,-2,-1\mid-2]-\big[0,0,-2,\tfrac{10}{3}\mid\tfrac{2}{3}\big]=\Big[2,0,0,-1-\tfrac{10}{3}\mid-2-\tfrac{2}{3}\Big].Simplificando:-1-\tfrac{10}{3}=-\tfrac{13}{3},\qquad -2-\tfrac{2}{3}=-\tfrac{8}{3},então \text{R}_1=\big[2,0,0,-\tfrac{13}{3}\mid -\tfrac{8}{3}\big].
Para eliminar o coeficiente 4 de z em \text{R}_4: fator = \dfrac{4}{-3}=-\tfrac{4}{3}. Faço \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - \big(-\tfrac{4}{3}\big)\text{R}_3 = \text{R}_4 + \tfrac{4}{3}\text{R}_3.
Cálculo: \tfrac{4}{3}\text{R}_3=\big[0,0,-4,\tfrac{20}{3}\mid\tfrac{4}{3}\big].\text{R}_4=[0,0,4,9\mid8]+\big[0,0,-4,\tfrac{20}{3}\mid\tfrac{4}{3}\big]=\Big[0,0,0,9+\tfrac{20}{3}\mid 8+\tfrac{4}{3}\Big].Simplificando:9+\tfrac{20}{3}=\tfrac{27+20}{3}=\tfrac{47}{3},\qquad 8+\tfrac{4}{3}=\tfrac{24+4}{3}=\tfrac{28}{3},então \text{R}_4=\big[0,0,0,\tfrac{47}{3}\mid\tfrac{28}{3}\big].