Determine a solução para o sistema
\left\{\begin{array}{c} 2 x+y+3 z=1 \\\\ 2 x+y+5 w=2 \\\ y+5 z+w=3 \\\\ 3 x+y+4 z+4 w=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução (valores de x,y,z,w) do sistema
\left\{\begin{array}{rcl} 2x+y+3z & = & 1\\[4pt] 2x+y+5w & = & 2\\[4pt] y+5z+w & = & 3\\[4pt] 3x+y+4z+4w & = & 4 \end{array}\right.
Informações relevantes fornecidas:
  • São quatro equações lineares envolvendo as quatro incógnitas x,y,z,w.
  • Queremos o quádruplo \big(x,y,z,w\big) que satisfaz todas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Estratégia (resumida): vou resolver o sistema por eliminação de Gauss (eliminação por linhas), que consiste em escrever a matriz aumentada do sistema e usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar linha por constante não nula, adicionar múltiplos de uma linha a outra) para transformá-la numa forma triangular superior; daí resolvo por substituição regressiva. Rápida explicação das ferramentas que vou usar:
  • Matriz aumentada: é a matriz que junta os coeficientes e os termos independentes; facilita visualizar e operar.
  • Operações permitidas (não alteram o conjunto de soluções): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a uma linha um múltiplo de outra.
  • Objetivo prático: zerar coeficientes abaixo dos pivôs (diagonal principal) para obter equações fáceis de resolver.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada do sistema (linhas na ordem das equações dadas):
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 5 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 1 & 3\\[4pt] 3 & 1 & 4 & 4 & 4 \end{array}\right]
Vou operar sobre essas linhas para zerar os coeficientes de x nas linhas 2 e 4 usando a linha 1.]

Passo 4

Eliminar x da linha 2 subtraindo a linha 1:
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \text{R}_1
Cálculo linha a linha:
[2,1,0,5\mid2]-[2,1,3,0\mid1]=[0,0,-3,5\mid1].
Portanto a nova linha 2 é [0,0,-3,5\mid1].

Passo 5

Eliminar x da linha 4 usando combinação inteira para evitar frações:
\text{Faço }2\cdot\text{R}_4 - 3\cdot\text{R}_1.ç
Cálculo:
2\cdot[3,1,4,4\mid4]-3\cdot[2,1,3,0\mid1]=[6,2,8,8\mid8]-[6,3,9,0\mid3]=[0,-1,-1,8\mid5].
Substituo a linha 4 por esse resultado. Agora a matriz é
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 5 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 1 & 3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 8 & 5 \end{array}\right]]

Passo 6

Colocar um pivô na segunda coluna: troco as linhas 2 e 3 (para ter um 1 na posição (2,2) ):
\text{R}_2 \leftrightarrow \text{R}_3.
Matriz atual:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 5 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 8 & 5 \end{array}\right]]

Passo 7

Zerar os outros termos da coluna 2 usando a nova \text{R}_2:
  • Para zerar o 1 em \text{R}_1: \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - \text{R}_2.
    Cálculo: [2,1,3,0\mid1]-[0,1,5,1\mid3]=[2,0,-2,-1\mid-2].Nova \text{R}_1=[2,0,-2,-1\mid-2].
  • Para zerar o -1 em \text{R}_4: \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 + \text{R}_2.
    Cálculo: [0,-1,-1,8\mid5]+[0,1,5,1\mid3]=[0,0,4,9\mid8].Nova \text{R}_4=[0,0,4,9\mid8].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & -2 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 5 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 5 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 4 & 9 & 8 \end{array}\right]]

Passo 8

Agora queremos zerar os coeficientes na coluna 3 (variável z) abaixo e acima do pivô \text{R}_3. A linha 3 é [0,0,-3,5\mid1].
  • Para eliminar o coeficiente -2 de z em \text{R}_1: fator = \dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}. Faço \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - \tfrac{2}{3}\text{R}_3.
    Cálculo parcial:
    \tfrac{2}{3}\text{R}_3=\big[0,0,-2,\tfrac{10}{3}\mid\tfrac{2}{3}\big].
    Então \text{R}_1=[2,0,-2,-1\mid-2]-\big[0,0,-2,\tfrac{10}{3}\mid\tfrac{2}{3}\big]=\Big[2,0,0,-1-\tfrac{10}{3}\mid-2-\tfrac{2}{3}\Big].Simplificando: -1-\tfrac{10}{3}=-\tfrac{13}{3},\qquad -2-\tfrac{2}{3}=-\tfrac{8}{3},então \text{R}_1=\big[2,0,0,-\tfrac{13}{3}\mid -\tfrac{8}{3}\big].
  • Para eliminar o coeficiente 4 de z em \text{R}_4: fator = \dfrac{4}{-3}=-\tfrac{4}{3}. Faço \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - \big(-\tfrac{4}{3}\big)\text{R}_3 = \text{R}_4 + \tfrac{4}{3}\text{R}_3.
    Cálculo:
    \tfrac{4}{3}\text{R}_3=\big[0,0,-4,\tfrac{20}{3}\mid\tfrac{4}{3}\big]. \text{R}_4=[0,0,4,9\mid8]+\big[0,0,-4,\tfrac{20}{3}\mid\tfrac{4}{3}\big]=\Big[0,0,0,9+\tfrac{20}{3}\mid 8+\tfrac{4}{3}\Big].Simplificando: 9+\tfrac{20}{3}=\tfrac{27+20}{3}=\tfrac{47}{3},\qquad 8+\tfrac{4}{3}=\tfrac{24+4}{3}=\tfrac{28}{3},então \text{R}_4=\big[0,0,0,\tfrac{47}{3}\mid\tfrac{28}{3}\big].
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & 0 & -\tfrac{13}{3} & -\tfrac{8}{3}\\[6pt] 0 & 1 & 5 & 1 & 3\\[6pt] 0 & 0 & -3 & 5 & 1\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{47}{3} & \tfrac{28}{3} \end{array}\right]]

Passo 9

Simplifico \text{R}_4 multiplicando por 3 para remover denominadores:
\text{R}_4 \leftarrow 3\cdot\text{R}_4 = [0,0,0,47\mid28].
Isto dá a equação simples para w:
47\,w = 28 \quad\Rightarrow\quad w = \dfrac{28}{47}.

Passo 10

Resolução regressiva (substituição para as outras variáveis):
  • Da linha 3 ( \text{R}_3): -3z + 5w = 1. Substituindo w=\dfrac{28}{47},
-3z + 5\cdot\dfrac{28}{47} = 1 \quad\Rightarrow\quad -3z = 1 - \dfrac{140}{47} = \dfrac{47-140}{47} = -\dfrac{93}{47}.
Logo
z = \dfrac{93}{47}\cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{93}{141} = \dfrac{31}{47}.
  • Da linha 2 ( \text{R}_2): y + 5z + w = 3. Substituindo z=\dfrac{31}{47} e w=\dfrac{28}{47},
y = 3 - 5\cdot\dfrac{31}{47} - \dfrac{28}{47} = 3 - \dfrac{155+28}{47} = 3 - \dfrac{183}{47}.
Como 3=\dfrac{141}{47}, obtemos
y = \dfrac{141-183}{47} = -\dfrac{42}{47}.
  • Da linha 1 transformada ( \text{R}_1): 2x - \tfrac{13}{3}w = -\tfrac{8}{3}. Multiplico por 3 para evitar frações:
6x - 13w = -8.
Substituindo w=\dfrac{28}{47}:
6x = -8 + 13\cdot\dfrac{28}{47} = -8 + \dfrac{364}{47} = \dfrac{-376+364}{47} = -\dfrac{12}{47}.
Portanto
x = -\dfrac{12}{47}\cdot\dfrac{1}{6} = -\dfrac{2}{47}.

Resposta

x=-\dfrac{2}{47}
y=-\dfrac{42}{47}
z=\dfrac{31}{47}
w=\dfrac{28}{47}

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