Escreva o vetor \left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] como combinação linear dos vetores v_{1}=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 0 & 3\end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], v_{3}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 5 & 4\end{array}\right] e v_{4}=\left[\begin{array}{ll}0 & 5 \\\\ 1 & 4\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz alvo
T=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}
como combinação linear dos vetores (matrizes)
v_{1}=\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},\quad v_{2}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\quad v_{3}=\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 5 & 4\end{pmatrix},\quad v_{4}=\begin{pmatrix}0 & 5 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}.
O que preciso encontrar são os escalares reais a,b,c,d tais que a combinação linear
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}+d\,v_{4}
é igual a T. Essas são as informações relevantes dadas.]

Passo 2

Vamos traduzir a igualdade de matrizes em equações para os coeficientes. Escrever explicitamente a soma:
a\begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 5 & 4\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}0 & 5 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
Lembrete rápido: duas matrizes são iguais se e somente se todas as entradas correspondentes são iguais. Portanto cada posição gera uma equação linear em a,b,c,d.]

Passo 3

Escrevendo as equações entrada a entrada (linha 1 coluna 1; linha 1 coluna 2; linha 2 coluna 1; linha 2 coluna 2):
\begin{cases} 2a + b + 3c + 0d = 1,\\[6pt] 2a + b + 0c + 5d = 2,\\[6pt] 0a + b + 5c + d = 3,\\[6pt] 3a + b + 4c + 4d = 4. \end{cases}
Para simplificar, escrevo essas equações como
\begin{aligned} &\text{(E1)}\quad 2a + b + 3c = 1,\\[4pt] &\text{(E2)}\quad 2a + b + 5d = 2,\\[4pt] &\text{(E3)}\quad b + 5c + d = 3,\\[4pt] &\text{(E4)}\quad 3a + b + 4c + 4d = 4. \end{aligned}]

Passo 4

Subtrair (E1) de (E2) elimina 2a+b e dá uma relação só entre c e d. Faço:
\text{(E2)} - \text{(E1)}:\quad (2a+b+5d)-(2a+b+3c)=2-1,
logo
5d - 3c = 1.
Reescrevo essa relação como
\text{(A)}\quad 5d - 3c = 1.

Passo 5

Isolar b a partir de (E3) é útil. Da (E3):
b = 3 - 5c - d.
Vou substituir esse b nas equações (E1) e (E4) para eliminar b. Substituindo em (E1):
2a + (3 - 5c - d) + 3c = 1.
Organizando termos:
2a + 3 - 2c - d = 1,
portanto
\text{(B)}\quad 2a - 2c - d = -2.
Agora substituo o mesmo b em (E4):
3a + (3 - 5c - d) + 4c + 4d = 4.
Organizando:
3a + 3 - c + 3d = 4,
logo
\text{\text{(C)}}\quad 3a - c + 3d = 1.

Passo 6

Agora tenho um sistema mais simples em a,c,d\): \[\begin{cases} \text{(B)}\quad 2a - 2c - d = -2,\\[4pt] \text{\text{(C)}}\quad 3a - c + 3d = 1,\\[4pt] \text{(A)}\quad 5d - 3c = 1. \end{cases}
Da (B) isolamos a\]. Faço: \[2a = -2 + 2c + d \quad\Rightarrow\quad a = -1 + c + \dfrac{d}{2}.\] Substituo essa expressão de \(a em (C). Primeiro escrevo (C) com a substituição:
3\left(-1 + c + \dfrac{d}{2}\right) - c + 3d = 1.
Calculo passo a passo:
-3 + 3c + \dfrac{3d}{2} - c + 3d = 1,
-3 + 2c + \dfrac{9d}{2} = 1.
Multiplico por 2 para evitar frações:
-6 + 4c + 9d = 2,
portanto
4c + 9d = 8.
Isolo c em função de d:
\text{(D)}\quad c = \dfrac{8 - 9d}{4}.]

Passo 7

Agora uso a equação (A) junto com (D). A equação (A) é
5d - 3c = 1.
Substituo c de (D):
5d - 3\left(\dfrac{8 - 9d}{4}\right) = 1.
Multiplico por 4 para limpar denominadores:
20d - 3(8 - 9d) = 4.
Calculando:
20d - 24 + 27d = 4,
47d - 24 = 4,
47d = 28,
d = \dfrac{28}{47}.

Passo 8

Com d encontrado, volto a (D) para c:
c = \dfrac{8 - 9d}{4} = \dfrac{8 - 9\cdot \dfrac{28}{47}}{4}.
Calculo o numerador:
9\cdot \dfrac{28}{47} = \dfrac{252}{47},\qquad 8 = \dfrac{376}{47},
então
c = \dfrac{\dfrac{376}{47} - \dfrac{252}{47}}{4} = \dfrac{\dfrac{124}{47}}{4} = \dfrac{124}{47}\cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{31}{47}.

Passo 9

Agora encontro b usando (E3):
b = 3 - 5c - d = 3 - 5\cdot \dfrac{31}{47} - \dfrac{28}{47}.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador:
3 = \dfrac{141}{47},\qquad 5\cdot \dfrac{31}{47}=\dfrac{155}{47},
então
b = \dfrac{141}{47} - \dfrac{155}{47} - \dfrac{28}{47} = \dfrac{141 - 155 - 28}{47} = \dfrac{-42}{47}.

Passo 10

Por fim encontro a pela expressão que obtivemos em (B):
a = -1 + c + \dfrac{d}{2} = -1 + \dfrac{31}{47} + \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{28}{47}.
Calculo os termos:
-1 = \dfrac{-47}{47},\qquad \dfrac{d}{2}=\dfrac{14}{47},
então
a = \dfrac{-47}{47} + \dfrac{31}{47} + \dfrac{14}{47} = \dfrac{-47 + 31 + 14}{47} = \dfrac{-2}{47}.

Passo 11

Verificação rápida (somente para dar confiança): substituindo
a=-\dfrac{2}{47},\quad b=-\dfrac{42}{47},\quad c=\dfrac{31}{47},\quad d=\dfrac{28}{47}
nas equações (E1)–(E4) obtém-se realmente os lados direitos 1,2,3,4. Assim os coeficientes estão corretos.

Resposta

\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix} = -\dfrac{2}{47}\,v_{1} -\dfrac{42}{47}\,v_{2} +\dfrac{31}{47}\,v_{3} +\dfrac{28}{47}\,v_{4}.]

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