Lembrete rápido: duas matrizes são iguais se e somente se todas as entradas correspondentes são iguais. Portanto cada posição gera uma equação linear em a,b,c,d.]
Passo 3
Escrevendo as equações entrada a entrada (linha 1 coluna 1; linha 1 coluna 2; linha 2 coluna 1; linha 2 coluna 2):
\begin{cases} 2a + b + 3c + 0d = 1,\\[6pt] 2a + b + 0c + 5d = 2,\\[6pt] 0a + b + 5c + d = 3,\\[6pt] 3a + b + 4c + 4d = 4. \end{cases}
Para simplificar, escrevo essas equações como
\begin{aligned} &\text{(E1)}\quad 2a + b + 3c = 1,\\[4pt] &\text{(E2)}\quad 2a + b + 5d = 2,\\[4pt] &\text{(E3)}\quad b + 5c + d = 3,\\[4pt] &\text{(E4)}\quad 3a + b + 4c + 4d = 4. \end{aligned}]
Passo 4
Subtrair (E1) de (E2) elimina 2a+b e dá uma relação só entre c e d. Faço:
Vou substituir esse b nas equações (E1) e (E4) para eliminar b. Substituindo em (E1):
2a + (3 - 5c - d) + 3c = 1.
Organizando termos:
2a + 3 - 2c - d = 1,
portanto
\text{(B)}\quad 2a - 2c - d = -2.
Agora substituo o mesmo b em (E4):
3a + (3 - 5c - d) + 4c + 4d = 4.
Organizando:
3a + 3 - c + 3d = 4,
logo
\text{\text{(C)}}\quad 3a - c + 3d = 1.
Passo 6
Agora tenho um sistema mais simples em a,c,d\):
\[\begin{cases} \text{(B)}\quad 2a - 2c - d = -2,\\[4pt] \text{\text{(C)}}\quad 3a - c + 3d = 1,\\[4pt] \text{(A)}\quad 5d - 3c = 1. \end{cases}
Da (B) isolamos a\]. Faço:
\[2a = -2 + 2c + d \quad\Rightarrow\quad a = -1 + c + \dfrac{d}{2}.\]
Substituo essa expressão de \(a em (C). Primeiro escrevo (C) com a substituição:
3\left(-1 + c + \dfrac{d}{2}\right) - c + 3d = 1.
Calculo passo a passo:
-3 + 3c + \dfrac{3d}{2} - c + 3d = 1,
-3 + 2c + \dfrac{9d}{2} = 1.
Multiplico por 2 para evitar frações:
-6 + 4c + 9d = 2,
portanto
4c + 9d = 8.
Isolo c em função de d:
\text{(D)}\quad c = \dfrac{8 - 9d}{4}.]
Passo 7
Agora uso a equação (A) junto com (D). A equação (A) é
5d - 3c = 1.
Substituo c de (D):
5d - 3\left(\dfrac{8 - 9d}{4}\right) = 1.
Multiplico por 4 para limpar denominadores:
20d - 3(8 - 9d) = 4.
Calculando:
20d - 24 + 27d = 4,
47d - 24 = 4,
47d = 28,
d = \dfrac{28}{47}.
Passo 8
Com d encontrado, volto a (D) para c:
c = \dfrac{8 - 9d}{4} = \dfrac{8 - 9\cdot \dfrac{28}{47}}{4}.