QUESTÃO 3

Considere um experimento com duas fendas de abertura desprezível, separadas por uma distância d. Um anteparo está localizado a uma distância R, perpendicular às fendas e as fendas são iluminadas com onda eletromagnética de comprimento de onda \lambda.
(a) Qual é a distância, no anteparo, entre um máximo de interferência e o mínimo adjacente?
Suponha agora que o primeiro máximo de interferência ocorre em um ângulo \theta_{1}. Em seguida, o sistema é completamente imerso em um líquido transparente, sendo iluminado pela mesma luz. Nesse novo meio, o primeiro máximo ocorre em um ângulo \theta_{2}.
(b) Qual é o indice de refração do líquido?
(c) Qual é o comprimento de onda da luz nesse líquido?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Duas fendas de separação \,d.
  • Anteparo (tela) a uma distância \,R das fendas, perpendicular ao plano das fendas.
  • Luz monocromática no ar com comprimento de onda \,\lambda.
  • As fendas têm abertura desprezível (modelo clássico de duas fendas).
  • Depois, o mesmo sistema é imerso em um líquido transparente; o primeiro máximo passa de um ângulo \theta_{1} (no ar) para um ângulo \theta_{2} (no líquido).
Perguntas:
(a) Qual é a distância, sobre o anteparo, entre um máximo de interferência e o mínimo adjacente?
(b) Qual é o índice de refração do líquido, sabendo que o primeiro máximo ocorre em \theta_{1} no ar e em \theta_{2} no líquido?
(c) Qual é o comprimento de onda da luz no líquido?

Passo 2

Entendendo a física básica: condição de interferência para duas fendas e como obter posições das franjas.
  • Caminho óptico entre as duas fendas: a diferença de caminho até um ponto da tela que faz um ângulo \theta com a normal é, em boa aproximação geométrica (fendas muito próximas e tela longe), \, \delta = d\sin\theta. Vou explicar por que: projetando a separação d na direção perpendicular aos raios que vão para o ponto da tela obtém-se essa diferença de caminho. Essa é a fórmula usada em interferência de Young.
  • Condições de interferência:
    • Máximos (franjas brilhantes): \, \delta = m\lambda, com m inteiro (ordem do máximo, m=0,\pm1,\pm2,\dots).
    • Mínimos (franjas escuras): \, \delta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda.
Cada uma dessas expressões dá um ângulo \theta que satisfaz:
d\sin\theta_{\text{máx},m}=m\lambda, \qquad d\sin\theta_{\text{min},m}=\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda.á

Passo 3

Relação entre \theta e posição sobre a tela: como passar de ângulo para distância linear no anteparo.
  • A posição vertical y (medida a partir do centro) de uma franja que forma um ângulo \theta satisfaz geometricamente
y = R\tan\theta.
  • Em muitos problemas de duas fendas assume-se o regime de pequenos ângulos ( \theta pequeno), quando é válido usar as aproximações
\tan\theta \approx \sin\theta \approx \theta\quad(\text{em radianos}).
Com essa aproximação a posição fica simples:
y \approx R\sin\theta.
Vou usar essa aproximação para obter uma expressão simples e prática que é a usual em provas. Se alguém quiser a expressão exata, ela vem substituindo \sin\theta por \tan(\arcsin(\cdot)) — eu mostro isso mais adiante.

Passo 4

Calcular a distância entre um máximo e o mínimo adjacente (desenvolvimento passo a passo).
  • Seja um máximo de ordem m com ângulo \theta_{m} e o mínimo adjacente com ângulo \theta_{m+1/2} (o mínimo entre os máximos de ordem m e m+1 corresponde a m+\tfrac{1}{2}).
  • Usando as condições de interferência:
    \sin\theta_{m}=\frac{m\lambda}{d},\qquad \sin\theta_{m+\tfrac{1}{2}}=\frac{(m+\tfrac{1}{2})\lambda}{d}.
  • As posições sobre a tela (na aproximação de pequenos ângulos) são aproximadamente
    y_{m}\approx R\sin\theta_{m}=R\frac{m\lambda}{d}, \qquad y_{m+\tfrac{1}{2}}\approx R\sin\theta_{m+\tfrac{1}{2}}=R\frac{(m+\tfrac{1}{2})\lambda}{d}.
  • A distância entre o máximo e o mínimo adjacente é
    \Delta y = \big|y_{m}-y_{m+\tfrac{1}{2}}\big| \approx R\frac{\lambda}{2d}.
    Note que m cancelou: esse valor é independente de qual máximo m se escolhe — é sempre metade do espaçamento entre máximos consecutivos.
  • Observação sobre exatidão: se não desejar a aproximação de pequenos ângulos, a expressão exata para a diferença de posição entre o máximo de ordem m e o mínimo adjacente é
    \Delta y_{\text{exata}} = R\Bigg[\tan\!\bigg(\arcsin\!\bigg(\frac{m\lambda}{d}\bigg)\bigg) -\tan\!\bigg(\arcsin\!\bigg(\frac{(m+\tfrac{1}{2})\lambda}{d}\bigg)\bigg)\Bigg],
    que reduz à aproximação \dfrac{\lambda R}{2d} quando \theta é pequeno.

Passo 5

Parte (b): índice de refração n do líquido, usando o fato de que o primeiro máximo muda de ângulo.
  • Informações dadas para esta parte: o primeiro máximo (ou seja m=1) ocorre no ar em \theta_{1} e, após imersão no líquido, o primeiro máximo ocorre em \theta_{2}.
  • No ar (índice aproximadamente n_{\text{ar}}\simeq1) vale: d\sin\theta_{1}=1\cdot\lambda_{\text{ar}},onde \lambda_{\text{ar}}=\lambda é o comprimento de onda no ar.
  • No líquido vale a condição de máximo com o novo comprimento de onda \lambda_{\text{liq}}: d\sin\theta_{2}=1\cdot\lambda_{\text{liq}}.
  • Relação entre comprimento de onda no meio e índice de refração (frequência não muda ao atravessar meios): \lambda_{\text{liq}}=\dfrac{\lambda_{\text{ar}}}{n}.
  • Substituindo na equação do líquido: d\sin\theta_{2}=\frac{\lambda_{\text{ar}}}{n}.Mas \lambda_{\text{ar}}=d\sin\theta_{1} pela equação no ar. Portanto: d\sin\theta_{2}=\frac{d\sin\theta_{1}}{n} \quad\Rightarrow\quad n=\frac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}.
  • Interpretação rápida: o índice n é a razão entre os senos dos ângulos do mesmo ordem de máximo antes e depois da imersão (a frequência da luz não muda, só o comprimento de onda).

Passo 6

Parte (c): comprimento de onda da luz no líquido.
  • Já usamos a relação entre os comprimentos de onda em meios diferentes: \lambda_{\text{liq}}=\frac{\lambda_{\text{ar}}}{n}.
  • Usando também a relação prática (da condição de máximo) no líquido, para o primeiro máximo: \lambda_{\text{liq}}=d\sin\theta_{2}.
  • Ambas são equivalentes porque \lambda_{\text{ar}}=d\sin\theta_{1} e n=\dfrac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}. Então as formas úteis para a resposta são: \lambda_{\text{liq}}=\frac{\lambda}{n} \qquad\text{ou}\qquad \lambda_{\text{liq}}=d\sin\theta_{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta y \approx \frac{\lambda R}{2d}.
(b) \displaystyle n=\frac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}.
(c) \displaystyle \lambda_{\text{liq}}=\frac{\lambda}{n} \;=\; d\sin\theta_{2}.

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