Dois vetores m e p, de mesma origem, formam entre si um ângulo de 60^{\circ}. Se os módulos desses vetores são \mathrm{m}=7 \mathrm{~cm} e \mathrm{p}=8 \mathrm{~cm}, qual o módulo do vetor soma?

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras que eu preciso listar:
  • Dois vetores partem da mesma origem e formam entre si um ângulo de \,60^\circ.
  • Os módulos (comprimentos) desses vetores são \,m=7\\ \mathrm{cm} e \,p=8\\ \mathrm{cm}.
    A pergunta é: qual o módulo do vetor soma \, \mathbf{m}+\mathbf{p}?

Passo 2

Conceito-chave que vou usar (explicado devagarzinho): para dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b}, o quadrado do módulo da soma é dado por
\lVert \mathbf{a}+\mathbf{b}\rVert^2 = \lVert \mathbf{a}\rVert^2 + \lVert \mathbf{b}\rVert^2 + 2\,\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}.
Aqui \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar entre os vetores. Uma propriedade muito útil do produto escalar é que
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \lVert \mathbf{a}\rVert\,\lVert \mathbf{b}\rVert\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. Juntando as duas fórmulas obtemos a versão prática (é também a lei dos cossenos em forma vetorial):
\lVert \mathbf{a}+\mathbf{b}\rVert^2 = \lVert \mathbf{a}\rVert^2 + \lVert \mathbf{b}\rVert^2 + 2\,\lVert \mathbf{a}\rVert\,\lVert \mathbf{b}\rVert\cos\theta.
Explicação curta do porquê (sem rodeios): isso vem de expandir (\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}+\mathbf{b}) e usar a definição do produto escalar. Essa é uma fórmula que dá para derivar rápido na prova se esquecer, mas é bom memorizá-la.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, com \mathbf{a}=\mathbf{m}, \mathbf{b}=\mathbf{p}, \lVert \mathbf{m}\rVert=7\\ \mathrm{cm}, \lVert \mathbf{p}\rVert=8\\ \mathrm{cm} e \theta=60^\circ, temos
\lVert \mathbf{m}+\mathbf{p}\rVert^2 = 7^2 + 8^2 + 2\cdot 7\cdot 8\cdot\cos 60^\circ.

Passo 4

Calcular passo a passo os termos numéricos:
7^2 = 49,\qquad 8^2 = 64.
E lembrar que \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular o termo misto usando \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2}:
2\cdot 7\cdot 8\cdot\cos 60^\circ = 2\cdot 7\cdot 8\cdot \tfrac{1}{2} = 7\cdot 8 = 56.

Passo 6

Somar tudo:
\lVert \mathbf{m}+\mathbf{p}\rVert^2 = 49 + 64 + 56 = 169.
Agora extrair a raiz quadrada para obter o módulo:
\lVert \mathbf{m}+\mathbf{p}\rVert = \sqrt{169} = 13.
Não esquecer a unidade: os comprimentos eram em \mathrm{cm}, então o resultado também fica em \mathrm{cm}.

Passo 7

Dica rápida para a prova: se esqueceres a fórmula, desenha os vetores com a mesma origem formando o ângulo dado e aplica a lei dos cossenos no triângulo formado pelos extremos — dá exatamente a mesma conta. Respira fundo que dá tempo de fazer isso direitinho na prova.

Resposta

13\\ \mathrm{cm}

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