Questão 7. Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira (equação da onda):
\begin{cases}u_{t t}-u_{x x}=0 & \text { para } x \in(0, \pi), t>0 \\\ u(0, t)=u(\pi, t)=0 & \text { para } t \geq 0 \\\ u(x, 0)=\varphi(x) & \text { para } x \in(0, \pi) \\\ u_{t}(x, 0)=\psi(x) & \text { para } x \in(0, \pi)\end{cases}
Se
\varphi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n x)}{n^{4}} \text { e } \psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n x)}{n^{3}}
podemos afirmar que a solução u(x, t) do problema é igual a
\begin{aligned} & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}[\operatorname{sen}(n t)+\operatorname{sen}(n t)] \cos (n x) \\ & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\frac{1}{n^{2}} \cos (n t)+\operatorname{sen}(n t)\right] \operatorname{sen}(n x) \\ & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}[\cos (n t)+\operatorname{sen}(n t)] \cos (n x) \\ & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}\left[\frac{1}{n^{2}} \cos (n t)+\operatorname{sen}(n t)\right] \operatorname{sen}(n x) \\ & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}\left[\frac{1}{n} \cos (n t)+\operatorname{sen}(n t)\right] \operatorname{sen}(n x) \\ & \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}[\cos (n t)+\operatorname{sen}(n t)] \operatorname{sen}(n x) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação da onda no intervalo (0,\pi)\) com condições de contorno nulas e pede a solução \(u(x,t)\). Informações fornecidas que vamos usar explicitamente: \[\begin{cases} u_{t t}-u_{x x}=0 & \text{para } x\in(0,\pi),\\ t>0,\\[4pt] u(0,t)=u(\pi,t)=0 & \text{para } t\ge 0,\\[4pt] u(x,0)=\varphi(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\operatorname{sen}(n x)}{n^{4}} & \text{para } x\in(0,\pi),\\[8pt] u_t(x,0)=\psi(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\operatorname{sen}(n x)}{n^{3}} & \text{para } x\in(0,\pi). \end{cases}
Pergunta a responder: qual das séries apresentadas é a solução (u(x,t)] do problema?]

Passo 2

Forma geral das soluções separadas (motivo): procuramos soluções pela soma das modulações temporais sobre os modos espaciais que satisfazem as condições de contorno. Para as condições u(0,t)=u(\pi,t)=0 os modos espaciais que aparecem são \operatorname{sen}(n x) com n=1,2,\dots. Cada modo tem equação temporal do tipo T''+n^{2}T=0, cuja solução geral é combinação de \cos(n t) e \operatorname{sen}(n t). Portanto a forma geral das soluções por séries é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos(n t)+B_{n}\operatorname{sen}(n t)\bigr)\operatorname{sen}(n x),
onde os números A_{n} e B_{n} são constantes determinadas pelas condições iniciais. (Explicação rápida: X''+\lambda X=0 com X(0)=X(\pi)=0 \lambda=n^{2} e X=\operatorname{sen}(n x); então T''+n^{2}T=0 tem soluções \cos(n t), \operatorname{sen}(n t).)

Passo 3

Impondo as condições iniciais para ligar A_{n} e B_{n}:
colocando t=0 em u(x,t) obtemos
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\operatorname{sen}(n x)=\varphi(x).
Isto significa que os coeficientes A_{n} são exatamente os coeficientes da série de Fourier seno de \varphi. De modo análogo, derivando em t temos
u_{t}(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(-A_{n}n\operatorname{sen}(n t)+B_{n}n\cos(n t)\bigr)\operatorname{sen}(n x).
Avaliando em t=0 resulta
u_{t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}n\operatorname{sen}(n x)=\psi(x).
Logo os coeficientes da série de \psi são B_{n}n. Resumindo as relações:
A_{n}=\text{coeficiente de }\operatorname{sen}(n x)\text{ em }\varphi(x), \qquad B_{n}=\frac{1}{n}\times\text{coeficiente de }\operatorname{sen}(n x)\text{ em }\psi(x).
(Se não tivéssemos as séries dadas, obteríamos os coeficientes integrando usando a ortogonalidade de \operatorname{sen}(n x): a_n=\tfrac{2}{\pi}\int_0^\pi \varphi(x)\operatorname{sen}(n x)\,dx.)

Passo 4

Usamos as séries dadas para ler diretamente os coeficientes:
\varphi(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\operatorname{sen}(n x)}{n^{4}}, \qquad \psi(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\operatorname{sen}(n x)}{n^{3}}.
Portanto, para todo n temos
A_{n}=\frac{1}{n^{4}}, \qquad \text{coeficiente de }\psi\text{ é } \frac{1}{n^{3}},é
e assim
B_{n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n^{3}}=\frac{1}{n^{4}}.

Passo 5

Substituindo A_{n} e B_{n} na série geral obtemos a solução:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{4}}\cos(n t)+\frac{1}{n^{4}}\operatorname{sen}(n t)\right)\operatorname{sen}(n x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}\bigl[\cos(n t)+\operatorname{sen}(n t)\bigr]\operatorname{sen}(n x).
Esse é o resultado final; corresponde exatamente à alternativa que apresenta \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}[\cos(n t)+\operatorname{sen}(n t)]\operatorname{sen}(n x).

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}\bigl[\cos(n t)+\operatorname{sen}(n t)\bigr]\operatorname{sen}(n x)

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