O enunciado dá um problema de valor inicial para a equação da onda no intervalo (0,\pi)\) com condições de contorno nulas e pede a solução \(u(x,t)\). Informações fornecidas que vamos usar explicitamente:
\[\begin{cases} u_{t t}-u_{x x}=0 & \text{para } x\in(0,\pi),\\ t>0,\\[4pt] u(0,t)=u(\pi,t)=0 & \text{para } t\ge 0,\\[4pt] u(x,0)=\varphi(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\operatorname{sen}(n x)}{n^{4}} & \text{para } x\in(0,\pi),\\[8pt] u_t(x,0)=\psi(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{\operatorname{sen}(n x)}{n^{3}} & \text{para } x\in(0,\pi). \end{cases}
Pergunta a responder: qual das séries apresentadas é a solução (u(x,t)] do problema?]
Passo 2
Forma geral das soluções separadas (motivo): procuramos soluções pela soma das modulações temporais sobre os modos espaciais que satisfazem as condições de contorno. Para as condições u(0,t)=u(\pi,t)=0 os modos espaciais que aparecem são \operatorname{sen}(n x) com n=1,2,\dots. Cada modo tem equação temporal do tipo T''+n^{2}T=0, cuja solução geral é combinação de \cos(n t) e \operatorname{sen}(n t). Portanto a forma geral das soluções por séries é
onde os números A_{n} e B_{n} são constantes determinadas pelas condições iniciais. (Explicação rápida: X''+\lambda X=0 com X(0)=X(\pi)=0 dá \lambda=n^{2} e X=\operatorname{sen}(n x); então T''+n^{2}T=0 tem soluções \cos(n t), \operatorname{sen}(n t).)
Passo 3
Impondo as condições iniciais para ligar A_{n} e B_{n}:
colocando t=0 em u(x,t) obtemos
Logo os coeficientes da série de \psi são B_{n}n. Resumindo as relações:
A_{n}=\text{coeficiente de }\operatorname{sen}(n x)\text{ em }\varphi(x), \qquad B_{n}=\frac{1}{n}\times\text{coeficiente de }\operatorname{sen}(n x)\text{ em }\psi(x).
(Se não tivéssemos as séries dadas, obteríamos os coeficientes integrando usando a ortogonalidade de \operatorname{sen}(n x): a_n=\tfrac{2}{\pi}\int_0^\pi \varphi(x)\operatorname{sen}(n x)\,dx.)
Passo 4
Usamos as séries dadas para ler diretamente os coeficientes:
Esse é o resultado final; corresponde exatamente à alternativa que apresenta \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}[\cos(n t)+\operatorname{sen}(n t)]\operatorname{sen}(n x).