Questão 6. Considere a função
f(x)=\operatorname{sen}(x)
para x \in[0, \pi]. Assinale a afirmação ERRADA.
Sua série de senos converge para sen(x), para todo x \in \mathbb{R}.
Sua série de cossenos converge para 1 em x=-\frac{\pi}{2}.
Sua série de cossenos é uma função par.
Sua série de senos converge para -1 em x=-\frac{\pi}{2}.
Sua série de cossenos converge para \cos (x), para todo x \in \mathbb{R}.
Sua série de senos converge para 0 para todo x=k \pi, k \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=\sin(x)\; definida em [0,\pi] e pede para assinalar a afirmação ERRADA entre as seguintes (vou reescrever cada uma exatamente para ficar claro):
  1. Sua série de senos converge para \sin(x), para todo \;x\in\mathbb{R}.\n
  2. Sua série de cossenos converge para 1 em \;x=-\frac{\pi}{2}.\n
  3. Sua série de cossenos é uma função par.\n
  4. Sua série de senos converge para -1 em \;x=-\frac{\pi}{2}.\n
  5. Sua série de cossenos converge para \cos(x), para todo \;x\in\mathbb{R}.\n
  6. Sua série de senos converge para 0 para todo \;x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.\n
    Estamos procurando exatamente qual dessas seis afirmações é falsa.

Passo 2

O que são “série de senos” e “série de cossenos” para uma função dada em [0,\pi]\)? Vou explicar de forma direta e intuitiva. Quando temos uma função apenas em \([0,\pi]\) podemos construir duas extensões periódicas de período \(2\pi\): - A extensão ímpar (odd) — associada à série de senos — é definida por \[f_{\text{ímpar}}(x)=\begin{cases} \;f(x), & x\in[0,\pi],\\[4pt] \;-f(-x), & x\in[-\pi,0). \end{cases}
Essa extensão é ímpar ( f_{\text{ímpar}}(-x)=-f_{\text{ímpar}}(x)\]) e estende a função a toda \(\mathbb{R} de forma 2\pi-periódica. A série de senos (Fourier sine series) representa essa extensão ímpar (ponto a ponto, com as convenções nos pontos de descontinuidade).
  • A extensão par (even) — associada à série de cossenos — é definida por
f_{\text{par}}(x)=f(|x|)\quad\text{para }x\in[-\pi,\pi],
e estendida periodicamente com período 2\pi. Essa extensão é par ( f_{\text{par}}(-x)=f_{\text{par}}(x)). A série de cossenos representa essa extensão par.]

Passo 3

Regra de convergência que usamos: se a função original em [0,\pi] for razoável (por exemplo contínua e com poucas descontinuidades nas extensões), então a série de senos converge ponto a ponto para a extensão ímpar e a série de cossenos converge ponto a ponto para a extensão par. Em pontos de continuidade da extensão, a série converge para o valor da extensão; em pontos de salto, converge para a média dos limites laterais. Aqui f(x)=\sin(x) é contínua, então as extensões serão contínuas nos pontos interiores, e as convergências são simples de caracterizar.

Passo 4

Analise da série de senos (extensão ímpar). Para f(x)=\sin(x) em [0,\pi], qual é a extensão ímpar? Note que a função \sin(x) já é uma função ímpar no sentido global (pois \sin(-x)=-\sin(x)) e é 2\pi-periódica. Logo, se eu tomo a restrição de \sin(x) em [0,\pi] e construir a extensão ímpar periódica, obtenho exatamente a função \sin(x) em toda \mathbb{R}. Em outras palavras:
f_{\text{ímpar}}(x)=\sin(x)\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.í
Portanto a série de senos converge para \sin(x) para todo x\in\mathbb{R}. Isso responde e justifica a veracidade da afirmação (1).

Passo 5

Consequências para pontos específicos (série de senos). Como a série de senos converge para \sin(x) em todo \mathbb{R}, temos:
\text{em }x=-\frac{\pi}{2}:\quad \sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,
portanto a afirmação (4) — "Sua série de senos converge para -1 em x=-\frac{\pi}{2}" — é verdadeira. E para x=k\pi com k\in\mathbb{Z},
\sin(k\pi)=0,
logo a afirmação (6) também é verdadeira.

Passo 6

Análise da série de cossenos (extensão par). A extensão par de f é
f_{\text{par}}(x)=\sin(|x|)\quad\text{(no intervalo base }[-\pi,\pi]\text{) },
estendida com período 2\pi. Claramente essa extensão é par, porque f_{\text{par}}(-x)=\sin(|-x|)=\sin(|x|)=f_{\text{par}}(x). Logo a afirmação (3) — “Sua série de cossenos é uma função par” — é verdadeira.

Passo 7

Avaliação da série de cossenos em x=-\frac{\pi}{2}. Pelo que escrevemos,
f_{\text{par}}\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\left|-\frac{\pi}{2}\right|\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Portanto a afirmação (2) — "Sua série de cossenos converge para 1 em x=-\frac{\pi}{2}" — é verdadeira.

Passo 8

Testando a afirmação suspeita: "Sua série de cossenos converge para \cos(x), para todo x\in\mathbb{R}". Isso significaria que a extensão par f_{\text{par}}(x) é igual a \cos(x) para todo x. Vamos dar um contraexemplo simples e definitivo: em x=0,
f_{\text{par}}(0)=\sin(|0|)=\sin(0)=0,
enquanto
\cos(0)=1.
Como 0\neq 1, a extensão par não é \cos(x). Portanto a afirmação (5) é falsa. Outra maneira de ver: \sin(|x|) não tem nada a ver com \cos(x) em geral (sinais e valores diferem), então a série de cossenos não pode ser \cos(x) globalmente.

Resumo final lógico (rápido)

  • As afirmações (1), (2), (3), (4) e (6) são verdadeiras, como demonstrado: a série de senos reproduz \sin(x) em toda \mathbb{R}, a série de cossenos é a extensão par \sin(|x|), que em -\pi/2 vale 1, é par, etc.
  • A afirmação (5) é falsa porque a extensão par vale 0 em x=0 enquanto \cos(0)=1; logo a série de cossenos não converge para \cos(x) em todo \mathbb{R}.

Resposta

Sua série de cossenos converge para \cos(x), para todo \;x\in\mathbb{R}.

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