Questão 1 Considere a função f(x, y)=x^{3}+y^{2}.
Calcule \iint_{R} f(x, y) d A onde R=[0,1] \times[0,2].

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^3+y^2
e o domínio retangular
R = [0,1]\times[0,2].
Vamos usar o Teorema de Fubini, que permite calcular a integral dupla como iteração de integrais simples, e a linearidade da integral para separar a soma.

Passo 2

Pela linearidade temos
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\iint_{R}x^3\,dA+\iint_{R}y^2\,dA.
Aplicando Fubini em cada parcela:
\iint_{R}x^3\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2}x^3\,dy\,dx, \quad \iint_{R}y^2\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2}y^2\,dy\,dx.

Passo 3

Calculemos cada integral simples:
\int_{y=0}^{2}x^3\,dy =x^3\bigl[y\bigr]_{0}^{2} =2x^3,
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\int_{x=0}^{1}2x^3\,dx =2\cdot\frac{x^4}{4}\Big|_{0}^{1} =\frac{2}{4} =\frac12.
E
\int_{y=0}^{2}y^2\,dy =\frac{y^3}{3}\Big|_{0}^{2} =\frac{8}{3},
então
\int_{x=0}^{1}1\;dx\;\cdot\;\frac{8}{3} =\frac{8}{3}.

Passo 4

Somando os resultados das duas parcelas:
\iint_{R}f(x,y)\,dA =\frac12+\frac{8}{3} =\frac{3}{6}+\frac{16}{6} =\frac{19}{6}.

Resposta

\frac{19}{6}.

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