Questão 3 (2 pontos)

(a) Defina campo conservativo e função potencial.
(b) É correto afirmar que f(x, y)=\operatorname{sen}\left(x^{3}+y^{3}\right) é função pontencial de algum campo? Se sim, qual campo?
(c) É correto afirmar que o campo \vec{F}(x, y)=(2 x+y, y-1.000001 x) é conservativo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) definição de campo conservativo e de função potencial; (b) verificar se \;f(x,y)=\sin\bigl(x^3+y^3\bigr)
é função potencial de algum campo vetorial e, em caso afirmativo, identificar esse campo; (c) checar se \;\vec F(x,y)=(2x+y,\;y-1{,}000001\,x)
é conservativo. Vamos usar cálculo de gradiente e a condição de igualdade das derivadas cruzadas.

Passo 2

Um campo vetorial \vec F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) é dito conservativo se existe uma função escalar \varphi(x,y), chamada função potencial, tal que
\vec F = \nabla \varphi = \Bigl(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\,\frac{\partial \varphi}{\partial y}\Bigr)
num domínio simplesmente conectado. Equivalente a isso, temos a condição de Schwarz:
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 3

Para (b), supomos que \;f(x,y)=\sin\bigl(x^3+y^3\bigr)
seja uma função potencial de um campo \vec F. Então necessariamente
\vec F(x,y)=\nabla f(x,y).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =\cos\bigl(x^3+y^3\bigr)\,\frac{d}{dx}(x^3) =3x^2\cos\bigl(x^3+y^3\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y} =\cos\bigl(x^3+y^3\bigr)\,\frac{d}{dy}(y^3) =3y^2\cos\bigl(x^3+y^3\bigr).

Passo 5

Logo,
\vec F(x,y) =\Bigl(3x^2\cos(x^3+y^3),\;3y^2\cos(x^3+y^3)\Bigr)
é o campo de que f é potencial.

Passo 6

Para (c), tomamos \vec F(x,y)=(P,Q) com P=2x+y e Q=y-1{,}000001\,x. Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(2x+y)=1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(y-1{,}000001\,x)=-1{,}000001.

Passo 7

Como \;1\neq -1{,}000001,
a condição de Schwarz falha e, portanto, \vec F não é conservativo.

Resposta

(a) Um campo \vec F=(P,Q) é conservativo se existe \varphi tal que \vec F=\nabla\varphi; essa \varphi é a função potencial.
(b) Sim. A função potencial f(x,y)=\sin(x^3+y^3) gera o campo \displaystyle \Bigl(3x^2\cos(x^3+y^3),\,3y^2\cos(x^3+y^3)\Bigr).
(c) Não. Pois \partial P/\partial y=1\neq-1{,}000001=\partial Q/\partial x, logo não satisfaz a condição de campo conservativo.

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