Questão 3 (2 pontos)
(a) Defina campo conservativo e função potencial.
(b) É correto afirmar que
é função pontencial de algum campo? Se sim, qual campo?
(c) É correto afirmar que o campo
é conservativo? Justifique sua resposta.
(b) É correto afirmar que
(c) É correto afirmar que o campo
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) definição de campo conservativo e de função potencial; (b) verificar se
é função potencial de algum campo vetorial e, em caso afirmativo, identificar esse campo; (c) checar se
é conservativo. Vamos usar cálculo de gradiente e a condição de igualdade das derivadas cruzadas.
é função potencial de algum campo vetorial e, em caso afirmativo, identificar esse campo; (c) checar se
é conservativo. Vamos usar cálculo de gradiente e a condição de igualdade das derivadas cruzadas.
Passo 2
Um campo vetorial
é dito conservativo se existe uma função escalar
, chamada função potencial, tal que
num domínio simplesmente conectado. Equivalente a isso, temos a condição de Schwarz:
Passo 3
Para (b), supomos que
seja uma função potencial de um campo . Então necessariamente
seja uma função potencial de um campo
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 5
Logo,
é o campo de que
é potencial.
Passo 6
Para (c), tomamos
com
e
. Calculamos
Passo 7
Como
,
a condição de Schwarz falha e, portanto, não é conservativo.
a condição de Schwarz falha e, portanto,
Resposta
(a) Um campo
é conservativo se existe
tal que
; essa
é a função potencial.
(b) Sim. A função potencial gera o campo
.
(c) Não. Pois , logo não satisfaz a condição de campo conservativo.
(b) Sim. A função potencial
(c) Não. Pois