Questão 4 (2.5 pontos) Considere o campo vetorial \vec{F}(x, y)=\left(2 x+y, x-3 y^{2}\right).
(a) Sabendo que \vec{F} é conservativo, determine uma função potencial para \vec{F}.
(b) Calcule \int_{C} \vec{F} d r onde C é o pedaço de uma elipse começando em (1,0) e terminando em (0,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y) = \bigl(2x + y,\;x - 3y^2\bigr)
e pede em (a) uma função potencial \varphi tal que \nabla\varphi = \vec{F} (campo conservativo) e em (b) o valor do integral de linha de \vec{F} ao longo de qualquer curva C de (1,0) até (0,1). Vamos usar a teoria de campos conservativos: basta achar \varphi e usar o Teorema Fundamental dos Campos Vetoriais.

Passo 2

Como \partial \varphi/\partial x = 2x+y, integramos em x:
\varphi(x,y) = \int (2x+y)\,dx = x^2 + xy + h(y),
onde h é função só de y.

Passo 3

Agora usamos \partial \varphi/\partial y = x + h'(y) e igualamos a x - 3y^2. Logo,
x + h'(y) = x - 3y^2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -3y^2 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -y^3 + C.

Passo 4

Podemos tomar C=0. Assim, uma função potencial é
\varphi(x,y) = x^2 + xy - y^3.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int_C \vec{F}\cdot d\vec r
num campo conservativo basta avaliar
\varphi\bigl(0,1\bigr) - \varphi\bigl(1,0\bigr).

Passo 6

Calculamos
\varphi(0,1) = 0^2 + 0\cdot1 - 1^3 = -1, \qquad \varphi(1,0) = 1^2 + 1\cdot0 - 0^3 = 1,
então
\int_C \vec{F}\cdot d\vec r = (-1) - (1) = -2.

Resposta

(a) \displaystyle \varphi(x,y) = x^2 + xy - y^3.
(b) \displaystyle \int_C \vec{F}\cdot d\vec r = -2.

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