Questão 4 (2.5 pontos) Considere o campo vetorial
.
(a) Sabendo que
é conservativo, determine uma função potencial para
.
(b) Calcule
onde
é o pedaço de uma elipse começando em
e terminando em
.
(a) Sabendo que
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede em (a) uma função potencial
tal que
(campo conservativo) e em (b) o valor do integral de linha de
ao longo de qualquer curva
de
até
. Vamos usar a teoria de campos conservativos: basta achar
e usar o Teorema Fundamental dos Campos Vetoriais.
Passo 2
Como
, integramos em
:
onde
é função só de
.
Passo 3
Agora usamos
e igualamos a
. Logo,
Passo 4
Podemos tomar
. Assim, uma função potencial é
Passo 5
Para calcular
num campo conservativo basta avaliar
num campo conservativo basta avaliar
Passo 6
Calculamos
então
Resposta
(a)
(b)
(b)