Questão 2. Considere a função dada por:
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\left(3 x^{2}-2 y^{3}\right) \cdot \operatorname{sen}(y)}{x^{2}+y^{3}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
Determine \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e. \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
(Dica: use a definiçāo de derivada no ponto como o limite da razāo incremental).

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{\left(3x^{2}-2y^{3}\right)\sin(y)}{x^{2}+y^{3}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para determinar as derivadas parciais no ponto (0,0):
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0);
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
Também é dado implicitamente que \sin é a função seno usual. Nenhuma outra informação é necessária.]

Passo 2

Primeiro lembro a definição prática de derivada parcial no ponto (a forma que usaremos): para a derivada parcial em x com y fixo em 0 temos
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},
ou seja, fazemos um pequeno incremento h em x e mantemos y=0, e calculamos o limite da razão incremental.

Passo 3

Calculo f(h,0) para h\neq0. Substituindo y=0 na expressão para (x,y)\neq(0,0):
f(h,0)=\frac{\left(3h^{2}-2\cdot 0^{3}\right)\sin(0)}{h^{2}+0^{3}}=\frac{3h^{2}\cdot 0}{h^{2}}=0.
Portanto, para todo h\neq0 temos f(h,0)=0. Usando isso na razão incremental:
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0.
Tomando o limite quando h\to0 obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}0=0.
Interpretação rápida: ao andar ao longo do eixo x (com y=0) a função vale sempre 0, então a inclinação naquele sentido é 0.

Passo 4

Agora uso a definição para a derivada parcial em y (mantendo x=0):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.

Passo 5

Calculo f(0,k) para k\neq0. Substituindo x=0 na fórmula:
f(0,k)=\frac{\left(3\cdot 0^{2}-2k^{3}\right)\sin(k)}{0^{2}+k^{3}}=\frac{-2k^{3}\sin(k)}{k^{3}}.
Como k\neq0 podemos simplificar k^{3} e obter
f(0,k)=-2\sin(k).

Passo 6

Agora a razão incremental fica
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{-2\sin(k)-0}{k}=-2\cdot\frac{\sin(k)}{k}.
Conhecemos o limite fundamental \displaystyle \lim_{k\to0}\frac{\sin(k)}{k}=1 (pode ser visto por série de Taylor, por desigualdades trigonométricas ou por limite conhecido). Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\Big(-2\cdot\frac{\sin(k)}{k}\Big)=-2\cdot 1=-2.

Passo 7

Resumo do raciocínio final em palavras: ao mover-se ao longo do eixo x (com y=0) a função é identicamente zero, portanto a variação em x é nula; ao mover-se ao longo do eixo y (com x=0) a função reduz-se à função simples -2\sin(y), cuja razão incremental em y em 0 tende a -2.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-2

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