Questão 1. Seja f(x, y)=\frac{y+2}{e^{x}-1}.
(a) Determine o domínio de f.
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de f é uma curva exponencial? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\frac{y+2}{e^{x}-1}.
O que é pedido:
  • (a) Determinar o domínio de f, isto é, o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define f faz sentido.
  • (b) Dizer se a curva de nível de valor 1 de f é uma curva exponencial e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função exponencial e^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • A expressão tem um denominador e^{x}-1, portanto devemos evitar pontos onde e^{x}-1=0.
  • O numerador é y+2, que é definido para todo y\in\mathbb{R}.

Passo 2

Entendendo o que significa encontrar o domínio: para uma função dada por uma expressão com fração, o domínio é o conjunto de pontos em que o denominador não é zero e todas as operações envolvidas são válidas. Aqui não há raiz de índice par, logaritmo, etc., somente a fração e a exponencial. Então a única restrição potencial vem de
e^{x}-1\neq 0.
Vamos resolver essa condição. A equação e^{x}-1=0 é equivalente a e^{x}=1. Sabendo que e^{x}=1 acontece exatamente quando x=0, temos que a condição de impedir o denominador nulo é
x\neq 0.

Passo 3

Concluindo o domínio a partir do passo anterior: qualquer y\in\mathbb{R} é permitido, desde que x\neq 0. Em notação de conjuntos:
\text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\}.
Uma forma alternativa, equivalente e muitas vezes mais clara, é escrever
\text{Dom}(f)=(\mathbb{R}\setminus\{0\})\times\mathbb{R}.
Explicação rápida: para cada x diferente de 0 a expressão e^{x}-1 é não nula e para qualquer y a fração está bem definida.

Passo 4

Agora vamos à curva de nível de valor 1. Por definição, a curva de nível 1 (o nível k=1) é o conjunto dos pontos do domínio onde f(x,y)=1. Então começamos por escrever a equação
\frac{y+2}{e^{x}-1}=1,\qquad\text{com a condição }x\neq 0.çã
Multiplicando ambos os lados por e^{x}-1 (permitido apenas quando e^{x}-1\neq 0, ou seja x\neq 0) obtemos a igualdade
y+2=e^{x}-1.
Isolando y vem
y=e^{x}-3.

Passo 5

Interpretação e justificativa: a equação y=e^{x}-3 é precisamente a equação de uma curva exponencial (é o gráfico da função exponencial x\mapsto e^{x} deslocada verticalmente para baixo em 3 unidades). Em termos padrão, uma curva exponencial tem a forma y=Ae^{Bx}+C; aqui A=1, B=1 e C=-3.
Importante observar a restrição de domínio: a igualdade y=e^{x}-3 foi deduzida partindo de f(x,y)=1, portanto só vale para pontos que pertencem ao domínio de f. Como já vimos, o domínio exige x\neq 0. Assim a curva de nível é exactamente o gráfico da exponencial deslocada, porém sem o ponto que corresponderia a x=0. Note que se x=0 a fórmula y=e^{x}-3 daria y=-2, mas o par (0,-2) NÃO pertence ao domínio de f (porque f não está definida em x=0), logo (0,-2) não faz parte da curva de nível. Fora esse detalhe, para todo x\neq 0 temos um ponto da curva de nível dado por y=e^{x}-3.

Passo 6

Resposta verbal curta e motivadora: portanto, sim — a curva de nível 1 é uma curva exponencial (é o gráfico de y=e^{x}-3), com a ressalva técnica de que o ponto (0,-2) está ausente porque f não é definida em x=0. Boa! Isso significa que na prova basta mostrar a manipulação algébrica que leva a y=e^{x}-3 e mencionar a exclusão de x=0.

Resposta

(a) \text{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\}=(\mathbb{R}\setminus\{0\})\times\mathbb{R}.
(b) Sim. A curva de nível 1 é dada por y=e^{x}-3 com x\neq 0 (ou seja, o gráfico da exponencial e^{x} deslocado para baixo em 3 unidades, excluindo o ponto (0,-2)).

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