Questão 1. Seja
.
(a) Determine o domínio de
.
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de
é uma curva exponencial? Justifique.
(a) Determine o domínio de
(b) É correto afirmar que a curva de nível 1 de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido:
- (a) Determinar o domínio de
, isto é, o conjunto de todos os pares para os quais a expressão que define faz sentido. - (b) Dizer se a curva de nível de valor
de é uma curva exponencial e justificar a resposta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função exponencial
está definida para todo . - A expressão tem um denominador
, portanto devemos evitar pontos onde . - O numerador é
, que é definido para todo .
Passo 2
Entendendo o que significa encontrar o domínio: para uma função dada por uma expressão com fração, o domínio é o conjunto de pontos em que o denominador não é zero e todas as operações envolvidas são válidas. Aqui não há raiz de índice par, logaritmo, etc., somente a fração e a exponencial. Então a única restrição potencial vem de
Vamos resolver essa condição. A equação
é equivalente a
. Sabendo que
acontece exatamente quando
, temos que a condição de impedir o denominador nulo é
Passo 3
Concluindo o domínio a partir do passo anterior: qualquer
é permitido, desde que
. Em notação de conjuntos:
Uma forma alternativa, equivalente e muitas vezes mais clara, é escrever
Explicação rápida: para cada
diferente de
a expressão
é não nula e para qualquer
a fração está bem definida.
Passo 4
Agora vamos à curva de nível de valor
. Por definição, a curva de nível
(o nível
) é o conjunto dos pontos do domínio onde
. Então começamos por escrever a equação
Multiplicando ambos os lados por
(permitido apenas quando
, ou seja
) obtemos a igualdade
Isolando
vem
Passo 5
Interpretação e justificativa: a equação
é precisamente a equação de uma curva exponencial (é o gráfico da função exponencial
deslocada verticalmente para baixo em
unidades). Em termos padrão, uma curva exponencial tem a forma
; aqui
,
e
.
Importante observar a restrição de domínio: a igualdade
foi deduzida partindo de
, portanto só vale para pontos que pertencem ao domínio de
. Como já vimos, o domínio exige
. Assim a curva de nível é exactamente o gráfico da exponencial deslocada, porém sem o ponto que corresponderia a
. Note que se
a fórmula
daria
, mas o par
NÃO pertence ao domínio de
(porque
não está definida em
), logo
não faz parte da curva de nível. Fora esse detalhe, para todo
temos um ponto da curva de nível dado por
.
Passo 6
Resposta verbal curta e motivadora: portanto, sim — a curva de nível
é uma curva exponencial (é o gráfico de
), com a ressalva técnica de que o ponto
está ausente porque
não é definida em
. Boa! Isso significa que na prova basta mostrar a manipulação algébrica que leva a
e mencionar a exclusão de
.
Resposta
(a)
(b) Sim. A curva de nível
é dada por
com
(ou seja, o gráfico da exponencial
deslocado para baixo em
unidades, excluindo o ponto
).