Exercício 2. Verifique se a função

f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x^{2}+y^{2}}}+\frac{2 x^{2} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x^{2}+y^{2}}}}{3 \sqrt[3]{x^{2}+y^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{aligned}\right.
é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x^{2}+y^{2}}}+\dfrac{2x^{2}\,\mathrm{e}^{\sqrt[3]{x^{2}+y^{2}}}}{3\sqrt[3]{x^{2}+y^{2}}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em (0,0).
Informações úteis dadas:
  • Valor de f no ponto pedido: f(0,0)=1.
  • Expressão de f fora da origem envolve \sqrt[3]{x^{2}+y^{2}}, isto é a raiz cúbica de x^{2}+y^{2}.
O que precisamos provar (objetivo claro): mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=1,
pois, por definição de continuidade, isso garante que f é contínua em (0,0).]

Passo 2

Introduzo uma notação prática para tornar as contas mais claras. Seja
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\text{e}\quad t=\sqrt[3]{x^{2}+y^{2}}=(r^{2})^{1/3}=r^{2/3}.
Então, para (x,y)\neq(0,0) a função pode ser escrita como
f(x,y)=\mathrm{e}^{t}+\frac{2x^{2}\,\mathrm{e}^{t}}{3t}.
Queremos estudar o comportamento de f(x,y) quando r\to0^{+} (equivalente a (x,y)\to(0,0)), ou seja o comportamento quando t\to0^{+}.

Passo 3

Calculo a diferença entre f(x,y) e 1 (o valor alvo no ponto):
f(x,y)-1=\bigl(\mathrm{e}^{t}-1\bigr)+\frac{2x^{2}\,\mathrm{e}^{t}}{3t}.
Para mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=1 basta provar que cada um dos termos à direita tende a 0 quando r\to0.

Passo 4

Estimo o primeiro termo \mathrm{e}^{t}-1. Pelo Teorema do Valor Médio aplicado à função g(s)=\mathrm{e}^{s} no intervalo [0,t] (para t\ge0) existe \xi\in(0,t) tal que
\mathrm{e}^{t}-1=g'( \xi)\,t=\mathrm{e}^{\xi}\,t.
Como \xi\in(0,t) e para r pequeno podemos tomar t\le1, tem-se \mathrm{e}^{\xi}\le\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}. Assim, para 0\le t\le1,
0\le \mathrm{e}^{t}-1 \le \mathrm{e}\,t.
Recordando t=r^{2/3}, obtemos a estimativa útil
0\le \mathrm{e}^{t}-1 \le \mathrm{e}\,r^{2/3}\xrightarrow{r\to0}0.
Portanto o primeiro termo tende a 0 quando r\to0.

Passo 5

Faço agora a estimativa do segundo termo \dfrac{2x^{2}\,\mathrm{e}^{t}}{3t}. Primeiro noto que x^{2}\le r^{2}. Assim
\frac{x^{2}}{t}=\frac{x^{2}}{r^{2/3}}\le\frac{r^{2}}{r^{2/3}}=r^{4/3}.
Logo, para (x,y)\neq(0,0) com t=r^{2/3},
\left|\frac{2x^{2}\,\mathrm{e}^{t}}{3t}\right| \le \frac{2}{3}\,\mathrm{e}^{t}\,\frac{x^{2}}{t} \le \frac{2}{3}\,\mathrm{e}^{t}\,r^{4/3}.
De novo, tomando r suficientemente pequeno (por exemplo r\le1) garante-se \mathrm{e}^{t}\le\mathrm{e}, e assim
\left|\frac{2x^{2}\,\mathrm{e}^{t}}{3t}\right| \le \frac{2}{3}\,\mathrm{e}\,r^{4/3}\xrightarrow{r\to0}0.
Portanto o segundo termo também tende a 0 quando r\to0.

Passo 6

Juntando as estimativas dos Passos 4 e 5, para (x,y) próximos a (0,0) com r\le1 temos
|f(x,y)-1| \le |\mathrm{e}^{t}-1|+\left|\frac{2x^{2}\,\mathrm{e}^{t}}{3t}\right| \le \mathrm{e}\,r^{2/3}+\frac{2}{3}\,\mathrm{e}\,r^{4/3}.
O lado direito tende a 0 quando r\to0 (pois ambos r^{2/3} e r^{4/3} vão para 0). Formalizando em termos de \varepsilon: dado \varepsilon>0 escolhe-se
\delta=\min\left\{1,\; \left(\frac{\varepsilon}{4\mathrm{e}}\right)^{3/2},\;\left(\frac{3\varepsilon}{4\mathrm{e}}\right)^{3/4}\right\},
então, se 0<r<\delta, os dois termos são menores que \varepsilon/2 e assim |f(x,y)-1|<\varepsilon. Isso prova que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=1.

Passo 7

Pelo resultado do Passo 6 temos que o limite de f(x,y) em (0,0) coincide com o valor dado f(0,0)=1. Pelo critério de continuidade, isso significa que f é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua em (0,0).

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