Para mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=1 basta provar que cada um dos termos à direita tende a 0 quando r\to0.
Passo 4
Estimo o primeiro termo \mathrm{e}^{t}-1. Pelo Teorema do Valor Médio aplicado à função g(s)=\mathrm{e}^{s} no intervalo [0,t] (para t\ge0) existe \xi\in(0,t) tal que
\mathrm{e}^{t}-1=g'( \xi)\,t=\mathrm{e}^{\xi}\,t.
Como \xi\in(0,t) e para r pequeno podemos tomar t\le1, tem-se \mathrm{e}^{\xi}\le\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}. Assim, para 0\le t\le1,
então, se 0<r<\delta, os dois termos são menores que \varepsilon/2 e assim |f(x,y)-1|<\varepsilon. Isso prova que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=1.
Passo 7
Pelo resultado do Passo 6 temos que o limite de f(x,y) em (0,0) coincide com o valor dado f(0,0)=1. Pelo critério de continuidade, isso significa que f é contínua em (0,0).