Questão 4. Considere a função f dada por
f(x)=\frac{3 x-7}{x+2}
(1,0 pt) Encontre todas as assíntotas horizontais do gráfico da função f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3x-7}{x+2}
e pede para encontrar todas as assíntotas horizontais do gráfico de f. Informação relevante extra que aparece na definição: o domínio de f é todo o conjunto dos reais exceto x=-2, porque o denominador fica zero em x=-2. A pergunta específica é: quais são as assíntotas horizontais (se houver) da função f?

Passo 2

O que significa “assíntota horizontal”? Vou explicar de forma bem direta e prática. Dizemos que a reta
y=L
é uma assíntota horizontal da função f se, quando x tende para +\infty ou para -\infty, os valores de f(x) se aproximam do número L. Em linguagem de limites: se existir
\lim_{x\to+\infty} f(x)=L
ou
\lim_{x\to-\infty} f(x)=L,
então a reta y=L é uma assíntota horizontal (pelo menos de um dos lados). Se ambas as duas limites existirem e forem iguais a L, então essa é a única assíntota horizontal e vale para os dois lados. Portanto, para achar assíntotas horizontais precisamos calcular esses limites no infinito.

Passo 3

Vou calcular \lim_{x\to+\infty} f(x). Uma técnica simples é dividir numerador e denominador pelo termo de maior grau em x, que aqui é x. Faço:
f(x)=\frac{3x-7}{x+2}=\frac{x\left(3-\dfrac{7}{x}\right)}{x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)}=\frac{3-\dfrac{7}{x}}{1+\dfrac{2}{x}}.
Agora lembro de um fato básico sobre limites: quando x\to\pm\infty temos \dfrac{1}{x}\to 0. Assim, ao fazer x\to+\infty os termos \dfrac{7}{x} e \dfrac{2}{x} tendem a 0. Portanto
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\frac{3-0}{1+0}=3.

Passo 4

Faço o mesmo para x\to-\infty. Usando a mesma expressão
f(x)=\frac{3-\dfrac{7}{x}}{1+\dfrac{2}{x}},
quando x\to-\infty também temos \dfrac{7}{x}\to 0 e \dfrac{2}{x}\to 0. Logo
\lim_{x\to-\infty} f(x)=\frac{3-0}{1+0}=3.
Portanto os limites nos dois lados do infinito existem e são iguais a 3.

Passo 5

Para reforçar a intuição, faço a divisão polinomial rápida que mostra a decomposição em parte constante mais resto. Dividindo 3x-7 por x+2 obtemos:
\frac{3x-7}{x+2}=3-\frac{13}{x+2}.
Aqui eu usei que (x+2)\cdot 3=3x+6 e então 3x-7-(3x+6)=-13, restando -13 no numerador do termo fracionário. A vantagem dessa forma é ver claramente que, quando x\to\pm\infty, o termo -\dfrac{13}{x+2}\to 0, ficando f(x)\to 3. Isso confirma o resultado anterior e mostra geometricamente que o gráfico se aproxima da reta horizontal y=3.

Passo 6

Conclusão: os limites quando x\to+\infty e quando x\to-\infty são ambos iguais a 3. Pelo conceito de assíntota horizontal, a reta
y=3
é a assíntota horizontal da função f. Não existe outra assíntota horizontal diferente, já que ambos os limites deram o mesmo valor.

Resposta

y=3

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