Questão 4. Considere a função
dada por
(1,0 pt) Encontre todas as assíntotas horizontais do gráfico da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar todas as assíntotas horizontais do gráfico de
. Informação relevante extra que aparece na definição: o domínio de
é todo o conjunto dos reais exceto
, porque o denominador fica zero em
. A pergunta específica é: quais são as assíntotas horizontais (se houver) da função
?
Passo 2
O que significa “assíntota horizontal”? Vou explicar de forma bem direta e prática. Dizemos que a reta
é uma assíntota horizontal da função
se, quando
tende para
ou para
, os valores de
se aproximam do número
. Em linguagem de limites: se existir
ou
então a reta
é uma assíntota horizontal (pelo menos de um dos lados). Se ambas as duas limites existirem e forem iguais a
, então essa é a única assíntota horizontal e vale para os dois lados. Portanto, para achar assíntotas horizontais precisamos calcular esses limites no infinito.
Passo 3
Vou calcular
. Uma técnica simples é dividir numerador e denominador pelo termo de maior grau em
, que aqui é
. Faço:
Agora lembro de um fato básico sobre limites: quando
temos
. Assim, ao fazer
os termos
e
tendem a
. Portanto
Passo 4
Faço o mesmo para
. Usando a mesma expressão
quando
também temos
e
. Logo
Portanto os limites nos dois lados do infinito existem e são iguais a
.
Passo 5
Para reforçar a intuição, faço a divisão polinomial rápida que mostra a decomposição em parte constante mais resto. Dividindo
por
obtemos:
Aqui eu usei que
e então
, restando
no numerador do termo fracionário. A vantagem dessa forma é ver claramente que, quando
, o termo
, ficando
. Isso confirma o resultado anterior e mostra geometricamente que o gráfico se aproxima da reta horizontal
.
Passo 6
Conclusão: os limites quando
e quando
são ambos iguais a
. Pelo conceito de assíntota horizontal, a reta
é a assíntota horizontal da função
. Não existe outra assíntota horizontal diferente, já que ambos os limites deram o mesmo valor.