Questão 3. (1,5 pt) Seja
uma função que satisfaz
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor do limite quando
tende a
da função
, ou seja, encontrar
As informações dadas são apenas a desigualdade que vale para todo
:
Não há outras hipóteses no enunciado (continuidade, expressão explícita de
, etc.). Só podemos usar a desigualdade fornecida.
Passo 2
Interpretação da desigualdade. Vou explicar o que significa a expressão
. A notação
representa o valor absoluto de
; ela mede a distância de
até
na reta dos números reais. Portanto
mede a distância entre
e
. A desigualdade
diz que, para cada
, a distância entre
e
é no máximo a distância entre
e
.
Passo 3
Idéia intuitiva do limite. Se
se aproxima de
, a quantidade
tende a
. Como
é sempre menor ou igual a
, então
também tende a
. Quando
tende a
, isso significa que
tende a
, ou seja,
tende a
. Assim a resposta esperada é
Agora vou transformar essa ideia em um argumento rigoroso (epsilon–delta) e também relacioná-la ao princípio da “teorema do confronto” (squeeze theorem).
Passo 4
Argumento pelo teorema do confronto (squeeze theorem). O teorema do confronto diz que se temos três funções
,
e
com
e
, então
. No nosso caso podemos aplicar este raciocínio às distâncias não-negativas:
é sempre não negativa e satisfaz
Como
e
, pelo teorema do confronto segue que
Se o limite da distância
é
, então
converge para
, ou seja,
Passo 5
Prova rigorosa por epsilon–delta (útil para entender o que acontece “na prova”). Vou mostrar que para todo
existe
tal que, se
, então
. Parto da desigualdade dada:
Dado um
, escolha
. Agora, se
então, pela desigualdade,
Logo
. Isso prova que
segundo a definição formal de limite.
Passo 6
Resumo didático (como lembrar na hora da prova). A ideia-chave é ver a desigualdade como um controle da distância entre
e
pela distância entre
e
. Sempre que você tem algo do tipo
e
quando
, então
. Na prova, é suficiente apontar que
e que
quando
; daí conclui-se que
. Se quiser rigor, faça o passo epsilon–delta com
.