Questão 3. (1,5 pt) Seja f uma função que satisfaz |f(x)+2| \leq|x-3|. Calcule \lim _{x \rightarrow 3} f(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor do limite quando x tende a 3 da função f, ou seja, encontrar
\lim_{x\to 3} f(x).
As informações dadas são apenas a desigualdade que vale para todo x:
|f(x)+2| \leq |x-3|.
Não há outras hipóteses no enunciado (continuidade, expressão explícita de f, etc.). Só podemos usar a desigualdade fornecida.

Passo 2

Interpretação da desigualdade. Vou explicar o que significa a expressão |f(x)+2|. A notação |y| representa o valor absoluto de y; ela mede a distância de y até 0 na reta dos números reais. Portanto |f(x)+2| mede a distância entre f(x) e -2. A desigualdade
|f(x)+2| \leq |x-3|
diz que, para cada x, a distância entre f(x) e -2 é no máximo a distância entre x e 3.

Passo 3

Idéia intuitiva do limite. Se x se aproxima de 3, a quantidade |x-3| tende a 0. Como |f(x)+2| é sempre menor ou igual a |x-3|, então |f(x)+2| também tende a 0. Quando |f(x)+2| tende a 0, isso significa que f(x)+2 tende a 0, ou seja, f(x) tende a -2. Assim a resposta esperada é
\lim_{x\to 3} f(x) = -2.
Agora vou transformar essa ideia em um argumento rigoroso (epsilon–delta) e também relacioná-la ao princípio da “teorema do confronto” (squeeze theorem).

Passo 4

Argumento pelo teorema do confronto (squeeze theorem). O teorema do confronto diz que se temos três funções g(x), h(x) e k(x) com g(x)\le h(x)\le k(x) e \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} k(x)=L, então \lim_{x\to a} h(x)=L. No nosso caso podemos aplicar este raciocínio às distâncias não-negativas: |f(x)+2| é sempre não negativa e satisfaz
0 \le |f(x)+2| \le |x-3|.
Como \lim_{x\to 3} 0 = 0 e \lim_{x\to 3} |x-3| = 0, pelo teorema do confronto segue que
\lim_{x\to 3} |f(x)+2| = 0.
Se o limite da distância |f(x)+2| é 0, então f(x)+2 converge para 0, ou seja,
\lim_{x\to 3} f(x) = -2.

Passo 5

Prova rigorosa por epsilon–delta (útil para entender o que acontece “na prova”). Vou mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-3|<\delta, então |f(x)-(-2)|<\varepsilon. Parto da desigualdade dada:
|f(x)+2| \le |x-3|.
Dado um \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Agora, se 0<|x-3|<\delta então, pela desigualdade,
|f(x)+2| \le |x-3| < \delta = \varepsilon.
Logo |f(x)-(-2)| = |f(x)+2| < \varepsilon. Isso prova que \lim_{x\to 3} f(x) = -2 segundo a definição formal de limite.

Passo 6

Resumo didático (como lembrar na hora da prova). A ideia-chave é ver a desigualdade como um controle da distância entre f(x) e -2 pela distância entre x e 3. Sempre que você tem algo do tipo |f(x)-L| \le \varphi(x) e \varphi(x)\to 0 quando x\to a, então f(x)\to L. Na prova, é suficiente apontar que |f(x)+2|\le|x-3| e que |x-3|\to 0 quando x\to 3; daí conclui-se que f(x)\to -2. Se quiser rigor, faça o passo epsilon–delta com \delta=\varepsilon.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x) = -2

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