Questão 3. Considere a função
definida por
(a) Determine o valor da função
no ponto
.
(b) Determine a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
(b) Determine a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas:
- (a) O valor de
no ponto . - (b) A derivada direcional de
no ponto na direção do vetor .
Informações relevantes dadas:
Não há outras condições escondidas — vamos calcular o valor direto e a derivada direcional seguindo as definições padrão.
Passo 2
Vamos calcular primeiro (a) substituindo
e
na expressão de
. Aqui eu explico passo a passo como substituir e simplificar sem pular etapas:
A função tem três termos:
No ponto
temos
e
. Então:
Agora somamos os termos:
Passo 3
Agora a parte (b): explicar o que é derivada direcional e qual fórmula usamos.
Definição prática (a que se usa em prova): se
é diferenciável em um ponto, a derivada direcional de
em
na direção de um vetor
é dada pelo produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor unitário na direção de
. Ou seja,
onde
é o vetor direção normalizado. Importante: sempre normalizar
(usar vetor unitário), porque a derivada direcional mede taxa por unidade de comprimento.
Portanto o plano de ação: calcular
, avaliar em
, normalizar
e fazer o produto escalar.
Passo 4
Vamos achar as derivadas parciais
e
. Vou explicar cada termo e a regra usada.
A função é combinação de produtos e compostos, então usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Termo 1:
.
- Derivada em relação a
: é constante (tratando como constante), então derivada é
A derivada de
em relação a
é
. Logo esse termo vira
Termo 2:
.
Termo 3:
.
- Aplicando regra da cadeia:
.
Multiplicando pelo coeficientedá .
Somando tudo:
Agora
:
Termo 1:
.
Aqui usamos produto e
(ambos dependem de
):
Aqui usamos produto
A derivada de
em relação a
é
. Logo:
Termo 2:
é constante em
, derivada zero.
Termo 3:
.
Aplicando regra da cadeia: .
Multiplicando por dá
.
Aplicando regra da cadeia:
Multiplicando por
Somando:
Passo 5
Agora avaliamos as parciais em
. Vou explicar cada substituição numérica.
Para
:
Com
,
:
Somando:
Para
:
Com
,
:
os outros termos têm fator
, então são zero:
Logo
Portanto o gradiente em
é
Passo 6
Agora normalizamos o vetor direção
. O comprimento é
O vetor unitário é
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com
:
Calculando o produto escalar:
Simplificando (racionalizando ou reduzindo a raiz):
Resposta
(a)
(b)
(b)