Questão 3. Considere a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(x, y)=y^{2} \cos x y+x^{2}-4 e^{x y^{2}} .
(a) Determine o valor da função f no ponto P=(0,-2).
(b) Determine a derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x,y)=y^{2}\cos(xy)+x^{2}-4e^{x y^{2}}
e pede duas coisas:
  1. (a) O valor de f no ponto P=(0,-2).
  2. (b) A derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor \vec{v}=\vec{i}+\vec{j}.
Informações relevantes dadas:
P=(0,-2),\qquad \vec{v}=(1,1).
Não há outras condições escondidas — vamos calcular o valor direto e a derivada direcional seguindo as definições padrão.

Passo 2

Vamos calcular primeiro (a) substituindo x=0 e y=-2 na expressão de f. Aqui eu explico passo a passo como substituir e simplificar sem pular etapas:
A função tem três termos:
y^{2}\cos(xy),\quad x^{2},\quad -4e^{x y^{2}}.
No ponto P temos x=0 e y=-2. Então:
y^{2}=(-2)^{2}=4,
xy=0\cdot(-2)=0\quad\Rightarrow\quad \cos(xy)=\cos(0)=1,
x^{2}=0^{2}=0,
x y^{2}=0\cdot(-2)^{2}=0\quad\Rightarrow\quad e^{x y^{2}}=e^{0}=1.
Agora somamos os termos:
f(0,-2)=4\cdot 1 + 0 - 4\cdot 1 = 4 - 4 = 0.

Passo 3

Agora a parte (b): explicar o que é derivada direcional e qual fórmula usamos.
Definição prática (a que se usa em prova): se f é diferenciável em um ponto, a derivada direcional de f em P na direção de um vetor \vec{v} é dada pelo produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor unitário na direção de \vec{v}. Ou seja,
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \vec{u},
onde \vec{u}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} é o vetor direção normalizado. Importante: sempre normalizar \vec{v} (usar vetor unitário), porque a derivada direcional mede taxa por unidade de comprimento.
Portanto o plano de ação: calcular \nabla f(x,y)=(f_x,f_y), avaliar em P, normalizar \vec{v} e fazer o produto escalar.

Passo 4

Vamos achar as derivadas parciais f_x e f_y. Vou explicar cada termo e a regra usada.
A função é combinação de produtos e compostos, então usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Termo 1: y^{2}\cos(xy).
  • Derivada em relação a x: y^{2} é constante (tratando y como constante), então derivada é
\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}\cos(xy)\big)=y^{2}\cdot\big(-\sin(xy)\big)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xy).
A derivada de xy em relação a x é y. Logo esse termo vira
-y^{2}\sin(xy)\cdot y = -y^{3}\sin(xy).
Termo 2: x^{2}.
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
Termo 3: -4e^{x y^{2}}.
  • Aplicando regra da cadeia: \frac{\partial}{\partial x}e^{x y^{2}}=e^{x y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x y^{2})=e^{x y^{2}}\cdot y^{2}.
    Multiplicando pelo coeficiente -4 -4 y^{2} e^{x y^{2}}.
Somando tudo:
f_x(x,y)=-y^{3}\sin(xy)+2x-4y^{2}e^{x y^{2}}.
Agora f_y:
Termo 1: y^{2}\cos(xy).
Aqui usamos produto y^{2} e \cos(xy) (ambos dependem de y):
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\cos(xy)\big)=2y\cos(xy)+y^{2}\cdot\big(-\sin(xy)\big)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy).
A derivada de xy em relação a y é x. Logo:
2y\cos(xy)-x y^{2}\sin(xy).
Termo 2: x^{2} é constante em y, derivada zero.
Termo 3: -4e^{x y^{2}}.
Aplicando regra da cadeia: \frac{\partial}{\partial y}e^{x y^{2}}=e^{x y^{2}}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x y^{2})=e^{x y^{2}}\cdot x\cdot 2y=2xy e^{x y^{2}}.
Multiplicando por -4 -8 x y e^{x y^{2}}.
Somando:
f_y(x,y)=2y\cos(xy)-x y^{2}\sin(xy)-8 x y e^{x y^{2}}.

Passo 5

Agora avaliamos as parciais em P=(0,-2). Vou explicar cada substituição numérica.
Para f_x(0,-2):
f_x(0,-2)=-y^{3}\sin(xy)+2x-4y^{2}e^{x y^{2}}.
Com x=0, y=-2:
xy=0,\quad \sin(0)=0,
-y^{3}\sin(xy)=-(-2)^{3}\cdot 0= -(-8)\cdot 0=0,
2x=2\cdot 0=0,
-4y^{2}e^{x y^{2}}=-4\cdot 4\cdot e^{0}=-16.
Somando:
f_x(0,-2)=0+0-16=-16.
Para f_y(0,-2):
f_y(0,-2)=2y\cos(xy)-x y^{2}\sin(xy)-8 x y e^{x y^{2}}.
Com x=0, y=-2:
\cos(xy)=\cos(0)=1,
2y\cos(xy)=2\cdot(-2)\cdot 1=-4,
os outros termos têm fator x, então são zero:
-x y^{2}\sin(xy)=0,\quad -8 x y e^{x y^{2}}=0.
Logo
f_y(0,-2)=-4.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(0,-2)=\big(f_x(0,-2),\,f_y(0,-2)\big)=(-16,\,-4).

Passo 6

Agora normalizamos o vetor direção \vec{v}=(1,1). O comprimento é
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
O vetor unitário é
\vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
A derivada direcional é o produto escalar do gradiente com \vec{u}:
D_{\vec{u}}f(0,-2)=\nabla f(0,-2)\cdot \vec{u}=(-16,-4)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Calculando o produto escalar:
D_{\vec{u}}f(0,-2)=\frac{-16}{\sqrt{2}}+\frac{-4}{\sqrt{2}}=\frac{-20}{\sqrt{2}}.
Simplificando (racionalizando ou reduzindo a raiz):
\frac{-20}{\sqrt{2}}=\frac{-20\sqrt{2}}{2}=-10\sqrt{2}.

Resposta

(a) f(0,-2)=0
(b) D_{\vec{u}}f(0,-2)=-10\sqrt{2}

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