Questão 4. Considerando a equação
, determine
e
.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
onde
depende de
. O que se pede são as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes:
Passo 2
Vamos calcular
diferenciando a equação dada em relação a
, mantendo
fixo. Antes de derivar, lembro duas regras que usarei:
- Regra da cadeia: se
, então
pois
(produto, porque
depende de
).
- Derivada de
: como ,
Agora aplico a diferenciação termo a termo sobre
Passo 3
Derivando em
(com
constante):
- Lado esquerdo:
- Lado direito:
porque
.
Agora igualamos:
Passo 4
Agrupo os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Colocando todos os termos com
à esquerda:
Fatorando
:
Portanto
Passo 5
Agora calculamos
. Diferencio a equação original em relação a
, mantendo
fixo.
Relembre regras úteis:
- Derivada de
em : produto e regra da cadeia para :
- Derivada de
em : . - Derivada de
em : .
Passo 6
Igualando as derivadas em
:
Agrupando os termos com
à esquerda:
Fatorando
:
Portanto