Questão 4. Considerando a equação y^{2} e^{x z}=\ln \sqrt{z}-(x+y) z^{3}, determine \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y^{2} e^{x z}=\ln \sqrt{z}-(x+y) z^{3},
onde z depende de (x,y). O que se pede são as derivadas parciais \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes:
\begin{aligned} &\text{Equação dada: }y^{2} e^{x z}=\ln \sqrt{z}-(x+y) z^{3},\\\ &\text{Nota: } \ln \sqrt{z}=\tfrac{1}{2}\ln z,\\\ &\text{Devemos tratar }z=z(x,y)\text{ e usar diferenciação implícita (derivadas parciais).} \end{aligned}çãçãí

Passo 2

Vamos calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} diferenciando a equação dada em relação a x, mantendo y fixo. Antes de derivar, lembro duas regras que usarei:
  • Regra da cadeia: se g(x)=e^{x z(x)}, então
\frac{dg}{dx}=e^{x z}\cdot\frac{d}{dx}(x z)=e^{x z}\,(z+x\,z_x),
pois \frac{d}{dx}(x z)=z+x z_x (produto, porque z depende de x).
  • Derivada de \ln\sqrt{z}: como \ln\sqrt{z}=\tfrac{1}{2}\ln z,
\frac{\partial}{\partial x}\big(\ln\sqrt{z}\big)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z}\,z_x=\frac{1}{2z}z_x.
Agora aplico a diferenciação termo a termo sobre
y^{2} e^{x z}=\ln \sqrt{z}-(x+y) z^{3}.

Passo 3

Derivando em x (com y constante):
  • Lado esquerdo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2} e^{x z}\big)=y^{2} e^{x z}(z+x z_x).
  • Lado direito:
\frac{\partial}{\partial x}\big(\ln\sqrt{z}\big)-\frac{\partial}{\partial x}\big((x+y)z^{3}\big) =\frac{1}{2z}z_x-\big(z^{3}+(x+y)\cdot 3z^{2}z_x\big),
porque \frac{\partial}{\partial x}(x+y)=1.
Agora igualamos:
y^{2} e^{x z}(z+x z_x)=\frac{1}{2z}z_x-z^{3}-3(x+y)z^{2}z_x.

Passo 4

Agrupo os termos que contêm z_x de um lado e os demais do outro:
Colocando todos os termos com z_x à esquerda:
y^{2} e^{x z} x z_x-\frac{1}{2z}z_x+3(x+y)z^{2}z_x=-z^{3}-y^{2} e^{x z} z.
Fatorando z_x:
z_x\Big(y^{2} e^{x z} x-\frac{1}{2z}+3(x+y)z^{2}\Big)=-z^{3}-y^{2} e^{x z} z.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=z_x=\frac{-z^{3}-y^{2} e^{x z} z}{y^{2} e^{x z} x-\dfrac{1}{2z}+3(x+y)z^{2}}.

Passo 5

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}. Diferencio a equação original em relação a y, mantendo x fixo.
Relembre regras úteis:
  • Derivada de y^{2} e^{x z} em y: produto e regra da cadeia para e^{x z}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2} e^{x z}\big)=2y e^{x z}+y^{2} e^{x z}\cdot x z_y.
  • Derivada de \ln\sqrt{z} em y: \frac{1}{2z}z_y.
  • Derivada de -(x+y)z^{3} em y: -z^{3}-(x+y)\cdot 3 z^{2} z_y.

Passo 6

Igualando as derivadas em y:
2y e^{x z}+y^{2} e^{x z} x z_y=\frac{1}{2z}z_y-z^{3}-3(x+y)z^{2}z_y.
Agrupando os termos com z_y à esquerda:
y^{2} e^{x z} x z_y-\frac{1}{2z}z_y+3(x+y)z^{2}z_y=-z^{3}-2y e^{x z}.
Fatorando z_y:
z_y\Big(y^{2} e^{x z} x-\frac{1}{2z}+3(x+y)z^{2}\Big)=-z^{3}-2y e^{x z}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=z_y=\frac{-z^{3}-2y e^{x z}}{y^{2} e^{x z} x-\dfrac{1}{2z}+3(x+y)z^{2}}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-z^{3}-y^{2} e^{x z} z}{y^{2} e^{x z} x-\dfrac{1}{2z}+3(x+y)z^{2}}
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-z^{3}-2y e^{x z}}{y^{2} e^{x z} x-\dfrac{1}{2z}+3(x+y)z^{2}}

Exercícios relacionados