Questão 1 - Considere a função
Calcule
Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o valor de
.
Aqui significa a derivada parcial de
em relação a
; isto é,
Aqui
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
e o ponto onde devemos avaliar,
.
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão do logaritmo para facilitar derivar. Usar a identidade
. Como para os pontos de interesse
(por exemplo em
vale
), podemos escrever sem a barra de valor absoluto:
Portanto é conveniente definir
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usar a regra da cadeia e a regra da derivada de
:
.
Primeiro ache
. Seja
. Então
. Assim
Agora
Simplificando:
, portanto
Voltar à notação original:
Passo 4
Agora calculamos
. Para simplificar a notação, mantenho
. Então
onde aqui
é tratado como constante ao derivar em relação a
.
Usar a regra do produto (a constante
fora) e derivar
e
:
com
.
Calcule explicitamente:
Então
Colocando em denominação comum
:
Multiplicando pela constante
que estava fora, obtemos
ou reescrevendo com
,
Passo 5
Avaliar em
. Substituir
,
. Primeiro
e
. Observando a expressão de
, há um fator
multiplicando tudo no numerador. Logo,
Interpretação rápida: a presença do fator
faz a derivada mista anular-se no ponto
.