Questão 1 - Considere a função f(x, y)=\frac{1}{\ln \left(4-x^{2}-y^{2}\right)^{2}}
Calcule \mathrm{f}_{\mathrm{yx}}(0,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{1}{\ln\!\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr)^{2}}
e pede o valor de f_{yx}(0,1).
Aqui f_{yx} significa a derivada parcial de f_{y} em relação a x; isto é,
f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\!\biggl(\frac{\partial f}{\partial y}\biggr).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f(x,y) e o ponto onde devemos avaliar, (0,1).

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão do logaritmo para facilitar derivar. Usar a identidade \ln(a^{2})=2\ln|a|. Como para os pontos de interesse 4-x^{2}-y^{2}>0 (por exemplo em (0,1) vale 4-0-1=3>0), podemos escrever sem a barra de valor absoluto:
\ln\!\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr)^{2}=2\ln\!\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr).
Portanto é conveniente definir
g(x,y)=2\ln\!\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr), \qquad f(x,y)=\frac{1}{g(x,y)}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y. Usar a regra da cadeia e a regra da derivada de 1/g: \partial(1/g)/\partial y = -g_y/g^{2}.
Primeiro ache g_y. Seja h(x,y)=4-x^{2}-y^{2}. Então g(x,y)=2\ln h(x,y). Assim
h_y=\frac{\partial}{\partial y}(4-x^{2}-y^{2})=-2y,
g_y=2\cdot\frac{1}{h}\cdot h_y = 2\cdot\frac{-2y}{h}=\frac{-4y}{h}.
Agora
f_y = -\frac{g_y}{g^{2}} = -\frac{-4y/h}{\bigl(2\ln h\bigr)^{2}}.
Simplificando: \bigl(2\ln h\bigr)^{2}=4\bigl(\ln h\bigr)^{2}, portanto
f_y=\frac{4y}{h}\cdot\frac{1}{4\bigl(\ln h\bigr)^{2}}=\frac{y}{h\bigl(\ln h\bigr)^{2}}.
Voltar à notação original:
f_y(x,y)=\frac{y}{\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr)\bigl[\ln\!\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr)\bigr]^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(f_y). Para simplificar a notação, mantenho h=4-x^{2}-y^{2}. Então
f_y(y,x)=y\;h^{-1}\bigl(\ln h\bigr)^{-2},
onde aqui y é tratado como constante ao derivar em relação a x.
Usar a regra do produto (a constante y fora) e derivar A(x)=h^{-1} e B(x)=(\ln h)^{-2}:
\frac{dA}{dx}=-\frac{h_x}{h^{2}},\qquad \frac{dB}{dx}=-2(\ln h)^{-3}\cdot\frac{h_x}{h},
com h_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(4-x^{2}-y^{2})=-2x.
Calcule explicitamente:
A'=\;-\frac{h_x}{h^{2}}=-\frac{-2x}{h^{2}}=\frac{2x}{h^{2}},
B'=-2(\ln h)^{-3}\cdot\frac{h_x}{h}=-2(\ln h)^{-3}\cdot\frac{-2x}{h}=\frac{4x}{h(\ln h)^{3}}.
Então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(h^{-1}(\ln h)^{-2}\bigr)=A'B+AB' =\frac{2x}{h^{2}}\cdot\frac{1}{(\ln h)^{2}}+\frac{1}{h}\cdot\frac{4x}{h(\ln h)^{3}}.
Colocando em denominação comum h^{2}(\ln h)^{3}:
A'B+AB'=\frac{2x(\ln h)}{h^{2}(\ln h)^{3}}+\frac{4x}{h^{2}(\ln h)^{3}} =\frac{2x\bigl(\ln h+2\bigr)}{h^{2}(\ln h)^{3}}.
Multiplicando pela constante y que estava fora, obtemos
f_{yx}(x,y)=\frac{2xy\bigl(\ln h+2\bigr)}{h^{2}\bigl(\ln h\bigr)^{3}},
ou reescrevendo com h=4-x^{2}-y^{2},
f_{yx}(x,y)=\frac{2xy\bigl(\ln(4-x^{2}-y^{2})+2\bigr)}{\bigl(4-x^{2}-y^{2}\bigr)^{2}\bigl[\ln(4-x^{2}-y^{2})\bigr]^{3}}.

Passo 5

Avaliar em (0,1). Substituir x=0, y=1. Primeiro h(0,1)=4-0-1=3 e \ln h=\ln 3. Observando a expressão de f_{yx}, há um fator x multiplicando tudo no numerador. Logo,
f_{yx}(0,1)=\frac{2\cdot 0\cdot 1\bigl(\ln 3+2\bigr)}{3^{2}(\ln 3)^{3}}=0.
Interpretação rápida: a presença do fator x faz a derivada mista anular-se no ponto x=0.

Resposta

0

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