(Regras de derivação) Calcule as derivadas indicadas:
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x^{2}-2 x+1 no ponto de abscissa x=2.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-2x+1 e pede a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x=2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é f(x)=x^{2}-2x+1.
  • O ponto onde queremos a tangente tem abscissa x=2.
  • Para escrever a reta tangente é preciso:
    • o coeficiente angular (inclinação) da reta, que é a derivada f'(2);
    • as coordenadas do ponto de tangência (2,f(2)).

Passo 2

Entendendo o que é a derivada (a ideia importante, mastigada): a derivada f'(a) mede a inclinação (o “tantinho que sobe por tantinho que anda”) da curva em x=a. Formalmente, usa-se a definição por limite:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
onde:
  • a é o ponto em que se quer a derivada;
  • h é o incremento em x;
  • \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é a inclinação da secante entre x=a e x=a+h;
  • ao fazer h\to0 essa secante vira a tangente.
Na prática rápido para cálculo: aplicamos regras de derivação (que vêm da definição por limite). Regras usadas aqui:
  • Derivada da soma é a soma das derivadas.
  • Derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Derivada de c x (com c constante) é c.
  • Derivada de constante é 0.
Agora apliquei as regras termo a termo em f(x)=x^{2}-2x+1:
  • derivada de x^{2} é 2x (pela regra n x^{n-1} com n=2);
  • derivada de -2x é -2;
  • derivada de 1 é 0.
Portanto
f'(x)=2x-2.

Passo 3

Calcular a inclinação da tangente em x=2 apenas avaliando a derivada ali:
f'(2)=2\cdot 2-2=4-2=2.
Ou, se quiser ver pela definição por limite (confirmação didática):
f(2+h)=(2+h)^{2}-2(2+h)+1=1+2h+h^{2},
porque (2+h)^2=4+4h+h^2 e -2(2+h)=-4-2h, somando dá 1+2h+h^2.
Então
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{(1+2h+h^{2})-1}{h}=\frac{2h+h^{2}}{h}=2+h.
Fazendo h\to0 obtemos f'(2)=2. Igual ao resultado com as regras — beleza.

Passo 4

Calcular a ordenada do ponto de tangência: avaliar f em x=2:
f(2)=2^{2}-2\cdot2+1=4-4+1=1.
Logo o ponto de tangência é (2,1) e a inclinação (coeficiente angular) é m=f'(2)=2.

Passo 5

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0})=(2,1) e m=2. Substituindo:
y-1=2(x-2).
Desenvolvendo:
y-1=2x-4 \quad\Rightarrow\quad y=2x-3.

Passo 6

Resumo rápido de receita para prova (motivação): calcule f'(x) pelas regras, avalie em x para obter a inclinação, calcule f(x) para a ordenada do ponto, e use y-y_{0}=m(x-x_{0}). Dá para fazer em 3 linhas — e você já fez aqui.

Resposta

y=2x-3

Exercícios relacionados