(Regras de derivação) Calcule as derivadas indicadas:
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O ponto onde queremos a tangente tem abscissa
. - Para escrever a reta tangente é preciso:
- o coeficiente angular (inclinação) da reta, que é a derivada
; - as coordenadas do ponto de tangência
.
- o coeficiente angular (inclinação) da reta, que é a derivada
Passo 2
Entendendo o que é a derivada (a ideia importante, mastigada): a derivada
mede a inclinação (o “tantinho que sobe por tantinho que anda”) da curva em
. Formalmente, usa-se a definição por limite:
onde:
-
é o ponto em que se quer a derivada; -
é o incremento em ; -
é a inclinação da secante entre e ; - ao fazer
essa secante vira a tangente.
Na prática rápido para cálculo: aplicamos regras de derivação (que vêm da definição por limite). Regras usadas aqui:
- Derivada da soma é a soma das derivadas.
- Derivada de
é . - Derivada de
(com constante) é . - Derivada de constante é
.
Agora apliquei as regras termo a termo em
:
- derivada de
é (pela regra com ); - derivada de
é ; - derivada de
é .
Portanto
Passo 3
Calcular a inclinação da tangente em
apenas avaliando a derivada ali:
Ou, se quiser ver pela definição por limite (confirmação didática):
porque
e
, somando dá
.
Então
Então
Fazendo
obtemos
. Igual ao resultado com as regras — beleza.
Passo 4
Calcular a ordenada do ponto de tangência: avaliar
em
:
Logo o ponto de tangência é
e a inclinação (coeficiente angular) é
.
Passo 5
Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
onde
e
. Substituindo:
Desenvolvendo:
Passo 6
Resumo rápido de receita para prova (motivação): calcule
pelas regras, avalie em
para obter a inclinação, calcule
para a ordenada do ponto, e use
. Dá para fazer em 3 linhas — e você já fez aqui.